For å finne om funksjonen $f(x) = x^3 e^{-x}$ har noen vendepunkter, må vi først finne den andre deriverte av funksjonen, og deretter undersøke hvor den andre deriverte er lik null.

1. Første derivert

Først finner vi den første deriverte av funksjonen ved å bruke produktregelen. Produktregelen sier at hvis $f(x) = u(x) v(x)$, så er den deriverte $f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$.

Her er $u(x) = x^3$ og $v(x) = e^{-x}$. Vi finner først de nødvendige deriverte:

• Derivert av $u(x) = x^3$ er $u'(x) = 3x^2$.
• Derivert av $v(x) = e^{-x}$ er $v'(x) = -e^{-x}$.

Nå bruker vi produktregelen:

$f'(x) = (3x^2) e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = e^{-x} (3x^2 - x^3)$

2. Andre derivert

For å finne den andre deriverte, bruker vi produktregelen igjen på $f'(x) = e^{-x} (3x^2 - x^3)$.

Her er $u(x) = e^{-x}$ og $v(x) = 3x^2 - x^3$, så vi finner de nødvendige derivatene:

• Derivert av $u(x) = e^{-x}$ er $u'(x) = -e^{-x}$.
• Derivert av $v(x) = 3x^2 - x^3$ er $v'(x) = 6x - 3x^2$.

Bruker vi produktregelen igjen:

$f''(x) = (-e^{-x}) (3x^2 - x^3) + e^{-x} (6x - 3x^2)$

Faktoriserer ut $e^{-x}$:

$f''(x) = e^{-x} \left[ -(3x^2 - x^3) + (6x - 3x^2) \right]$

Forenkler uttrykket inni parentesen:

$f''(x) = e^{-x} \left[ -3x^2 + x^3 + 6x - 3x^2 \right]$

$f''(x) = e^{-x} \left[ x^3 - 6x^2 + 6x \right]$

3. Finn vendepunktene

Vendepunktene skjer der $f''(x) = 0$, så vi setter:

$e^{-x} \left[ x^3 - 6x^2 + 6x \right] = 0$

Ettersom $e^{-x}$ aldri er lik null for noen $x$, trenger vi bare å løse:

$x^3 - 6x^2 + 6x = 0$

Faktorisere uttrykket:

$x(x^2 - 6x + 6) = 0$

Det gir to mulige løsninger:

1. $x = 0$
2. $x^2 - 6x + 6 = 0$

Løs den andre kvadratiske likningen ved hjelp av den kvadratiske formelen:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

Så de tre mulige løsningene for $x$ er:

$x = 0, \quad x = 3 + \sqrt{3}, \quad x = 3 - \sqrt{3}$

4. Konklusjon

Funksjonen $f(x) = x^3 e^{-x}$ har vendepunkter ved $x = 0$, $x = 3 + \sqrt{3}$, og $x = 3 - \sqrt{3}$.

Vil du ha mer detaljer om hvordan vi kan verifisere disse vendepunktene? Eller har du andre spørsmål?

Her er 5 relaterte spørsmål:

1. Hva skjer med funksjonen ved de ulike vendepunktene?
2. Hvordan finner man den første deriverte for andre typer funksjoner?
3. Hva er forskjellen på infleksjonspunkter og vendepunkter?
4. Hvordan kan man bruke den andre deriverte testen for å bekrefte vendepunktene?
5. Hva er forskjellen mellom deriverte for algebraiske og eksponentielle funksjoner?

Tips: Når du løser for vendepunkter, husk at den andre deriverte tester om punktet er et maksimum, minimum eller et infleksjonspunkt, så vær oppmerksom på verdiene av den andre deriverte i tillegg til nullpunktene.