Um die Extremstellen der Funktion $f(x) = (x^2 - 3)e^x$ zu finden, folgen wir diesen Schritten:

1. Ableitungen berechnen

Zuerst berechnen wir die erste und zweite Ableitung der Funktion, um die kritischen Punkte und das Verhalten an diesen Punkten zu analysieren.

Erste Ableitung $f'(x)$: Wir verwenden die Produktregel: $(uv)' = u'v + uv'$, wobei $u = x^2 - 3$ und $v = e^x$.

$f'(x) = (x^2 - 3)' e^x + (x^2 - 3) (e^x)'$ $f'(x) = (2x) e^x + (x^2 - 3) e^x$ $f'(x) = e^x (2x + x^2 - 3)$ $f'(x) = e^x (x^2 + 2x - 3)$

Zweite Ableitung $f''(x)$: Wieder wenden wir die Produktregel auf $f'(x)$ an:

$f''(x) = \left[ e^x (x^2 + 2x - 3) \right]'$ $f''(x) = e^x (x^2 + 2x - 3)' + (x^2 + 2x - 3) e^x$ $f''(x) = e^x (2x + 2) + (x^2 + 2x - 3) e^x$ $f''(x) = e^x (2x + 2 + x^2 + 2x - 3)$ $f''(x) = e^x (x^2 + 4x - 1)$

2. Nullstellen der ersten Ableitung

Für die kritischen Punkte setzen wir $f'(x) = 0$:

$e^x (x^2 + 2x - 3) = 0$

Da $e^x$ niemals null wird, setzen wir $x^2 + 2x - 3 = 0$:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Diese quadratische Gleichung lösen wir mit der Mitternachtsformel:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}$ $x = \frac{-2 \pm 4}{2}$

Die Lösungen sind:

$x_1 = 1 \quad \text{und} \quad x_2 = -3$

3. Zweite Ableitung testen

Jetzt überprüfen wir mit $f''(x)$, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt:

Für $x = 1$:

$f''(1) = e^1 (1^2 + 4 \cdot 1 - 1) = e (1 + 4 - 1) = 4e > 0$

Dies ist ein Minimum.

Für $x = -3$:

$f''(-3) = e^{-3} ((-3)^2 + 4 \cdot (-3) - 1) = e^{-3} (9 - 12 - 1) = e^{-3} (-4) < 0$

Dies ist ein Maximum.

4. Ergebnis

• Minimum bei $x = 1$
• Maximum bei $x = -3$

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen dazu?

Weitere Fragen:

1. Wie wird die Produktregel bei Ableitungen angewendet?
2. Warum wird die zweite Ableitung verwendet, um Extrempunkte zu klassifizieren?
3. Was bedeutet es, wenn die zweite Ableitung positiv oder negativ ist?
4. Wie löst man quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel?
5. Warum wird $e^x$ niemals null?

Tipp: Wenn die erste Ableitung null ist, prüfen Sie die zweite Ableitung, um zu bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.