問題の状況をもとに、未知数 $x$ と $y$ の値を求めていきましょう。以下のポイントに従って、各段階での移動距離と時間を整理します。

与えられた条件

• 会場までの距離：22 km
• 生徒の歩く速さ：5 km/h
• 車の速さ：40 km/h
• 車は一度に6人しか乗せられないため、最初の6人を乗せて学校から出発し、途中で降ろし、先生は引き返して残りの6人を再び乗せる。

解法の手順

1. 学校から $x$ km の地点で最初の6人を降ろす

   • ここで、6人は降ろされた地点から会場まで歩き始めます。会場までの残り距離は $22 - x$ km です。
   • この距離を歩くのにかかる時間は次の通りです。 $t_{\text{歩き1}} = \frac{22 - x}{5}$

2. 先生は学校に引き返し、残りの6人を $y$ km の地点で乗せる

   • 先生が最初の6人を降ろした後、学校に戻るまでの時間は次の通りです。 $t_{\text{戻り}} = \frac{x}{40}$
   • 学校から $y$ km の地点まで移動するのにかかる時間は次の通りです。 $t_{\text{往復}} = \frac{y}{40}$

3. 先生が戻ってきて、残りの6人を乗せ、再び会場へ向かう

   • 先生が残りの6人を乗せて会場まで向かう距離は $22 - y$ km で、かかる時間は次の通りです。 $t_{\text{会場へ}} = \frac{22 - y}{40}$

連立方程式の作成

問題文によれば、最初に降ろした6人が歩いて会場に着くタイミングと、先生の車に乗った残りの6人が会場に到着するタイミングが同じです。これに基づき、次の方程式が得られます。

$t_{\text{歩き1}} = t_{\text{戻り}} + t_{\text{往復}} + t_{\text{会場へ}}$

これに各式を代入します。

$\frac{22 - x}{5} = \frac{x}{40} + \frac{y}{40} + \frac{22 - y}{40}$

この式を解くことで、$x$ と $y$ の値を求めることができます。計算を進めましょう。解を求めると、$x = \frac{154}{9} \approx 17.11$ km であることがわかりました。しかし、この方程式だけでは $y$ の値を決定できません。他の条件や方程式が必要となります。

この解に関して何か質問がありますか？また、以下のような関連する問題にも挑戦できます。

1. 生徒の速さを変えた場合、どのように解が変化するでしょうか？
2. 車の速さが遅くなった場合、会場への到着タイミングはどう影響を受けるでしょうか？
3. $y$ に特定の値を仮定すると、どのように計算が進むでしょうか？
4. 全員が同時に会場に到着するために必要な他の条件は何でしょうか？
5. 式を簡単に解く別の方法はあるでしょうか？

解法のヒント: $y$ を求めるためには、追加の条件が必要です。