 sobre base ortogonal e a base B={v=(1,2),u=(x,y)}B={v=(1,2),u=(x,y)} ortogonal do espaço vetorial V=R2V=R2 em relação ao produto interno usual, qual coordenada do vetor u

Para encontrar as coordenadas do vetor \( u = (x, y) \) de forma que \( B = \{v = (1, 2), u = (x, y)\} \) seja uma base ortogonal no espaço vetorial \( V = \mathbb{R}^2 \) em relação ao produto interno usual, precisamos garantir que o produto interno entre os vetores \( v \) e \( u \) seja zero.

O produto interno usual em \( \mathbb{R}^2 \) de dois vetores \( a = (a_1, a_2) \) e \( b = (b_1, b_2) \) é dado por:

\[
\langle a, b \rangle = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
\]

Aplicando isso aos vetores \( v = (1, 2) \) e \( u = (x, y) \), temos:

\[
\langle v, u \rangle = 1 \cdot x + 2 \cdot y = x + 2y
\]

Para que \( B \) seja uma base ortogonal, precisamos que \( \langle v, u \rangle = 0 \):

\[
x + 2y = 0
\]

Agora, podemos expressar \( x \) em função de \( y \):

\[
x = -2y
\]

Portanto, as coordenadas do vetor \( u \) devem satisfazer \( u = (-2y, y) \). Para qualquer valor de \( y \) diferente de zero, o vetor \( u \) terá essas coordenadas.

Se você escolher, por exemplo, \( y = 1 \), então \( u = (-2, 1) \).

**Recapitulando:**
- Para que \( u = (x, y) \) seja ortogonal a \( v = (1, 2) \), \( x = -2y \).
- A base \( B = \{v = (1, 2), u = (-2y, y)\} \) será ortogonal para qualquer valor de \( y \) diferente de zero.

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Você quer mais detalhes ou tem alguma dúvida? Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. O que caracteriza uma base ortogonal em um espaço vetorial?
2. Como encontrar a norma de um vetor em \( \mathbb{R}^2 \)?
3. Como se pode normalizar um vetor em \( \mathbb{R}^2 \)?
4. Qual a diferença entre uma base ortogonal e uma base ortonormal?
5. Como usar o método de Gram-Schmidt para ortogonalizar uma base?

**Dica:** Em uma base ortonormal, além de os vetores serem ortogonais, todos têm norma 1.

Learn how to find the coordinates of vector u = (x, y) such that B = {(1, 2), (x, y)} forms an orthogonal basis in vector space R^2 with the usual inner product. Detailed step-by-step solution provided. Suitable for advanced undergraduate students studying vector spaces and orthogonality.

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