Dado el vector $\mathbf{v} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ y el vector $\mathbf{u} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$ en $\mathbb{R}^3$, necesitamos encontrar dos vectores $\mathbf{r}$ y $\mathbf{s}$ tales que:

1. $\mathbf{r}$ sea paralelo a $\mathbf{u}$,
2. $\mathbf{s}$ sea ortogonal a $\mathbf{u}$,
3. $\mathbf{r} + \mathbf{s} = \mathbf{v}$.

Paso 1: Encontrar el vector $\mathbf{r}$ paralelo a $\mathbf{u}$

Un vector $\mathbf{r}$ paralelo a $\mathbf{u}$ se puede escribir como una escala del vector $\mathbf{u}$:

$\mathbf{r} = \lambda \mathbf{u} = \lambda (3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k})$

Donde $\lambda$ es un escalar. Esto significa que:

$\mathbf{r} = (3\lambda)\hat{i} - \lambda\hat{j} + (5\lambda)\hat{k}$

Paso 2: Utilizar la condición $\mathbf{r} + \mathbf{s} = \mathbf{v}$

Dado que $\mathbf{r} + \mathbf{s} = \mathbf{v}$, podemos expresar $\mathbf{s}$ como:

$\mathbf{s} = \mathbf{v} - \mathbf{r} = (-2\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) - (3\lambda\hat{i} - \lambda\hat{j} + 5\lambda\hat{k})$

Simplificando, obtenemos:

$\mathbf{s} = (-2 - 3\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda)\hat{j} + (3 - 5\lambda)\hat{k}$

Paso 3: Imponer la condición ortogonal $\mathbf{s} \cdot \mathbf{u} = 0$

Para que $\mathbf{s}$ sea ortogonal a $\mathbf{u}$, su producto punto con $\mathbf{u}$ debe ser cero:

$\mathbf{s} \cdot \mathbf{u} = [(-2 - 3\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda)\hat{j} + (3 - 5\lambda)\hat{k}] \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = 0$

Calculamos el producto punto:

$(-2 - 3\lambda)(3) + (4 + \lambda)(-1) + (3 - 5\lambda)(5) = 0$

Simplificando:

$-6 - 9\lambda - 4 - \lambda + 15 - 25\lambda = 0$

$-20\lambda + 5 = 0$

De aquí, resolvemos para $\lambda$:

$20\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{1}{4}$

Paso 4: Encontrar los vectores $\mathbf{r}$ y $\mathbf{s}$

Ahora que tenemos $\lambda = \frac{1}{4}$, podemos encontrar $\mathbf{r}$ y $\mathbf{s}$:

$\mathbf{r} = \frac{1}{4}(3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = \frac{3}{4}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{5}{4}\hat{k}$

$\mathbf{s} = \mathbf{v} - \mathbf{r} = \left(-2\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}\right) - \left(\frac{3}{4}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{5}{4}\hat{k}\right)$

Simplificando:

$\mathbf{s} = \left(-2 - \frac{3}{4}\right)\hat{i} + \left(4 + \frac{1}{4}\right)\hat{j} + \left(3 - \frac{5}{4}\right)\hat{k}$

$\mathbf{s} = \left(-\frac{11}{4}\right)\hat{i} + \left(\frac{17}{4}\right)\hat{j} + \left(\frac{7}{4}\right)\hat{k}$

Resumen de la solución

Los vectores $\mathbf{r}$ y $\mathbf{s}$ son:

$\mathbf{r} = \frac{3}{4}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{5}{4}\hat{k}$ $\mathbf{s} = -\frac{11}{4}\hat{i} + \frac{17}{4}\hat{j} + \frac{7}{4}\hat{k}$

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Tip: El producto punto de dos vectores es cero si y solo si los vectores son ortogonales.