Dados los vectores 𝑢⃗ = 3𝑖̂ − 𝑗̂ + 5𝑘 ̂
y 𝑣 = −2𝑖̂ + 4𝑗̂ + 3𝑘 ̂
en ℝ3,
encontrar dos vectores 𝑟 y 𝑠 , tales que 𝑟 sea paralelo a 𝑢⃗ , 𝑠 ortogonal a 𝑢⃗ y 𝑟 +𝑠
= 𝑣 .

Dado el vector \( \mathbf{v} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \) y el vector \( \mathbf{u} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k} \) en \( \mathbb{R}^3 \), necesitamos encontrar dos vectores \( \mathbf{r} \) y \( \mathbf{s} \) tales que:

1. \( \mathbf{r} \) sea paralelo a \( \mathbf{u} \),
2. \( \mathbf{s} \) sea ortogonal a \( \mathbf{u} \),
3. \( \mathbf{r} + \mathbf{s} = \mathbf{v} \).

### Paso 1: Encontrar el vector \( \mathbf{r} \) paralelo a \( \mathbf{u} \)

Un vector \( \mathbf{r} \) paralelo a \( \mathbf{u} \) se puede escribir como una escala del vector \( \mathbf{u} \):

\[
\mathbf{r} = \lambda \mathbf{u} = \lambda (3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k})
\]

Donde \( \lambda \) es un escalar. Esto significa que:

\[
\mathbf{r} = (3\lambda)\hat{i} - \lambda\hat{j} + (5\lambda)\hat{k}
\]

### Paso 2: Utilizar la condición \( \mathbf{r} + \mathbf{s} = \mathbf{v} \)

Dado que \( \mathbf{r} + \mathbf{s} = \mathbf{v} \), podemos expresar \( \mathbf{s} \) como:

\[
\mathbf{s} = \mathbf{v} - \mathbf{r} = (-2\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) - (3\lambda\hat{i} - \lambda\hat{j} + 5\lambda\hat{k})
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
\mathbf{s} = (-2 - 3\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda)\hat{j} + (3 - 5\lambda)\hat{k}
\]

### Paso 3: Imponer la condición ortogonal \( \mathbf{s} \cdot \mathbf{u} = 0 \)

Para que \( \mathbf{s} \) sea ortogonal a \( \mathbf{u} \), su producto punto con \( \mathbf{u} \) debe ser cero:

\[
\mathbf{s} \cdot \mathbf{u} = [(-2 - 3\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda)\hat{j} + (3 - 5\lambda)\hat{k}] \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = 0
\]

Calculamos el producto punto:

\[
(-2 - 3\lambda)(3) + (4 + \lambda)(-1) + (3 - 5\lambda)(5) = 0
\]

Simplificando:

\[
-6 - 9\lambda - 4 - \lambda + 15 - 25\lambda = 0
\]

\[
-20\lambda + 5 = 0
\]

De aquí, resolvemos para \( \lambda \):

\[
20\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{1}{4}
\]

### Paso 4: Encontrar los vectores \( \mathbf{r} \) y \( \mathbf{s} \)

Ahora que tenemos \( \lambda = \frac{1}{4} \), podemos encontrar \( \mathbf{r} \) y \( \mathbf{s} \):

\[
\mathbf{r} = \frac{1}{4}(3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = \frac{3}{4}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{5}{4}\hat{k}
\]

\[
\mathbf{s} = \mathbf{v} - \mathbf{r} = \left(-2\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}\right) - \left(\frac{3}{4}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{5}{4}\hat{k}\right)
\]

Simplificando:

\[
\mathbf{s} = \left(-2 - \frac{3}{4}\right)\hat{i} + \left(4 + \frac{1}{4}\right)\hat{j} + \left(3 - \frac{5}{4}\right)\hat{k}
\]

\[
\mathbf{s} = \left(-\frac{11}{4}\right)\hat{i} + \left(\frac{17}{4}\right)\hat{j} + \left(\frac{7}{4}\right)\hat{k}
\]

### Resumen de la solución

Los vectores \( \mathbf{r} \) y \( \mathbf{s} \) son:

\[
\mathbf{r} = \frac{3}{4}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{5}{4}\hat{k}
\]
\[
\mathbf{s} = -\frac{11}{4}\hat{i} + \frac{17}{4}\hat{j} + \frac{7}{4}\hat{k}
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se determina si un vector es paralelo a otro?
2. ¿Qué significa que un vector sea ortogonal a otro?
3. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?
4. ¿Qué es el producto punto y cómo se usa?
5. ¿Cómo se representa un vector en el espacio tridimensional?

**Tip:** El producto punto de dos vectores es cero si y solo si los vectores son ortogonales.

Learn how to find vectors r and s such that r is parallel to vector u = 3i - j + 5k and s is orthogonal to u, with the condition that r + s = v = -2i + 4j + 3k. Detailed step-by-step solution involving vector operations and linear algebra.

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