Hallar el valor de k en la ecuación (k + 2) x^2 + 10k + 3k = 0 para que las dos raíces sean números recíprocos. Comprobar paso a paso si la solución es k = 1 y justifica.

Para resolver el problema y hallar el valor de \( k \) en la ecuación \( (k + 2) x^2 + 10k + 3k = 0 \) de manera que las dos raíces sean números recíprocos, sigamos los siguientes pasos:

### Paso 1: Simplificación de la ecuación
Primero, simplificamos la ecuación dada:

\[
(k + 2) x^2 + 10k + 3k = 0
\]

\[
(k + 2) x^2 + 13k = 0
\]

### Paso 2: Condición para raíces recíprocas
Si las raíces de la ecuación cuadrática son \( \alpha \) y \( \frac{1}{\alpha} \), entonces la siguiente relación se cumple:

\[
\alpha \times \frac{1}{\alpha} = 1
\]

El producto de las raíces de una ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \) está dado por \( \frac{c}{a} \). Para que las raíces sean recíprocas:

\[
\frac{13k}{k + 2} = 1
\]

### Paso 3: Resolución de la ecuación para \( k \)
Igualamos la fracción a 1 y resolvemos para \( k \):

\[
\frac{13k}{k + 2} = 1
\]

Multiplicamos ambos lados por \( k + 2 \) para eliminar el denominador:

\[
13k = k + 2
\]

Restamos \( k \) de ambos lados:

\[
12k = 2
\]

Dividimos ambos lados por 12:

\[
k = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\]

### Paso 4: Comprobación de \( k = 1 \)
Para comprobar si \( k = 1 \) satisface la condición de que las raíces sean recíprocas, sustituimos \( k = 1 \) en la ecuación simplificada:

\[
(1 + 2) x^2 + 13 \times 1 = 0
\]

\[
3x^2 + 13 = 0
\]

Dividimos por 3:

\[
x^2 = -\frac{13}{3}
\]

La ecuación tiene raíces imaginarias, no reales, por lo que no puede haber raíces recíprocas reales. Esto prueba que \( k = 1 \) no es la solución correcta.

### Conclusión
El valor correcto de \( k \) es \( \frac{1}{6} \). La solución \( k = 1 \) no cumple la condición de que las raíces sean recíprocas.

---

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática?
2. ¿Qué ocurre con la discriminante de una ecuación cuadrática en relación a las raíces imaginarias?
3. ¿Cómo afectan los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) en la forma general \( ax^2 + bx + c = 0 \) a la naturaleza de las raíces?
4. ¿Cuáles son las condiciones para que una ecuación cuadrática tenga raíces reales y distintas?
5. ¿Cómo se relaciona el concepto de recíprocos con otros tipos de funciones cuadráticas?

**Tip:** Siempre es útil revisar si las soluciones propuestas cumplen con las condiciones del problema antes de concluir.

Learn how to find the value of k in the quadratic equation (k + 2)x^2 + 13k = 0 so that its roots are reciprocal. Detailed step-by-step solution provided, covering quadratic equations and reciprocal roots. Suitable for Grades 10-12.

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