28.  Hallar el valor de k  en la ecuación (k + 2) x^2  + 10x + 3k = 0 para que las dos raíces sean números recíprocos.

Dada la ecuación cuadrática:

\[
(k + 2)x^2 + 10x + 3k = 0
\]

Queremos encontrar el valor de \( k \) para que las raíces de la ecuación sean números recíprocos.

### Paso 1: Condición de reciprocidad

Para que las raíces sean recíprocas, se debe cumplir:

\[
r_1 \times r_2 = 1
\]

### Paso 2: Relación con los coeficientes de la ecuación cuadrática

Para la ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \), se tiene que:

\[
r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}
\]
\[
r_1 \times r_2 = \frac{c}{a}
\]

En nuestra ecuación, los coeficientes son:

\[
a = k + 2, \quad b = 10, \quad c = 3k
\]

Por lo tanto, la condición de reciprocidad implica que:

\[
\frac{c}{a} = 1
\]

Sustituyendo los valores de \( c \) y \( a \):

\[
\frac{3k}{k + 2} = 1
\]

### Paso 3: Resolver para \( k \)

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( k + 2 \) para eliminar el denominador:

\[
3k = k + 2
\]

Restamos \( k \) de ambos lados:

\[
2k = 2
\]

Finalmente, dividimos por 2:

\[
k = 1
\]

### Conclusión

El valor de \( k \) para que las raíces de la ecuación sean recíprocas es \( k = 1 \).

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Qué sucede si \( k \) toma otro valor? ¿Cómo afecta esto a las raíces?
2. ¿Cómo se puede verificar si las raíces son recíprocas para \( k = 1 \)?
3. ¿Qué método alternativo podría usarse para resolver esta ecuación?
4. ¿Qué interpretación geométrica tienen las raíces recíprocas?
5. ¿Cómo cambiaría la ecuación si se agregara un término lineal adicional?

**Tip:** Cuando tengas que encontrar un valor específico de un parámetro en una ecuación cuadrática, revisa cómo este afecta tanto a las raíces como a las condiciones impuestas en el problema.

Discover how to determine the value of k in the equation (k + 2)x^2 + 10x + 3k = 0 for reciprocal roots. This problem involves solving quadratic equations and understanding reciprocal relationships between roots. Suitable for students in Grades 10-12.

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