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大門1を行列を使って求めてください。日本語でお願いします。

では、問題1を行列を使って解いていきましょう。

### 問題1
平面 \(\mathbb{R}^2\) において直線 \(y = x + 2\) に関して直線 \(y = 2x\) と対称な直線の方程式を求めなさい。

#### 解法
1. **変換行列の作成**:
   直線 \(y = x + 2\) に関する対称変換行列を求めます。
   直線 \(y = x + 2\) は一般的な形式 \(Ax + By + C = 0\) に変換すると、
   \[
   x - y + 2 = 0
   \]
   となります。これに対する対称変換行列 \(M\) は以下のようになります:
   \[
   M = \frac{1}{A^2 + B^2} \begin{pmatrix}
   B^2 - A^2 & -2AB \\
   -2AB & A^2 - B^2
   \end{pmatrix}
   \]
   この場合、\(A = 1\)、\(B = -1\)、\(C = 2\)ですので、
   \[
   M = \frac{1}{1^2 + (-1)^2} \begin{pmatrix}
   (-1)^2 - 1^2 & -2 \cdot 1 \cdot (-1) \\
   -2 \cdot 1 \cdot (-1) & 1^2 - (-1)^2
   \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
   1 - 1 & 2 \\
   2 & 1 - 1
   \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
   0 & 2 \\
   2 & 0
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
   \end{pmatrix}
   \]

2. **直線のベクトル表現**:
   直線 \(y = 2x\) はベクトル方程式で表現すると、
   \[
   \begin{pmatrix}
   x \\
   y
   \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix}
   1 \\
   2
   \end{pmatrix}
   \]
   ここで、対称変換を行うために上記の行列を使います。

3. **対称変換の適用**:
   変換行列 \(M\) を用いて直線 \(y = 2x\) 上の任意の点を変換します。変換行列 \(M\) を適用すると、
   \[
   \begin{pmatrix}
   x' \\
   y'
   \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix}
   x \\
   y
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   0 & 1 \\
   1 & 0
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   x \\
   y
   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   y \\
   x
   \end{pmatrix}
   \]
   つまり、\(x\) と \(y\) を入れ替えます。

4. **新しい直線の方程式**:
   もとの直線 \(y = 2x\) の変換された形は \(y = 2x\) の点 \((x, y)\) を入れ替えて、
   \[
   x' = 2y'
   \]
   となります。これを一般的な形式に変換すると、
   \[
   x - 2y = 0
   \]
   これが対称な直線の方程式です。

まとめると、直線 \(y = x + 2\) に関して直線 \(y = 2x\) と対称な直線の方程式は
\[
x - 2y = 0
\]
となります。

質問があればどうぞ。他にも以下のような問題を解くことができます：

1. 点 \((0, -\frac{\sqrt{2}}{3})\) を基点とし、曲線 \(x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{2}y = 0\) を \(y\) 軸方向に \(\sqrt{3}\) 倍した曲線の方程式を求めなさい。
2. 直線 \(x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\) に関して点 \((4, 5, 6)\) を \(\frac{\pi}{2}\) 回転させた点を求めなさい。
3. 平面 \(x + 2y + 3z = 4\) に関して直線 \(x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\) と対称な直線の方程式を求めなさい。
4. 直線 \(y = -2x\) に関して点 \((1, 2)\) を対称移動させた点を求めなさい。
5. 極座標系において、直線 \(r = 2\cos\theta\) の極方程式を求めなさい。

### Tip:
行列を用いた変換は、幾何学的な操作を効率的に行うのに非常に便利です。特に対称変換や回転変換では、行列を使用することで計算が簡略化されます。

Learn how to find the equation of a line symmetric to y = 2x with respect to y = x + 2 using matrix transformations. This problem involves applying linear algebra concepts and symmetry transformations in geometry.

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