R2において直線y=x+2に関して直線y=2xと対称な直線の方程式を求めなさい

与えられた直線 \( y = 2x \) の直線 \( y = x + 2 \) に関する対称な直線の方程式を求めます。

1. まず、直線 \( y = x + 2 \) 上の任意の点 \((x_1, y_1)\) に対して、それに対称な点 \((x_2, y_2)\) を求める方法を使います。

2. 点 \((x_1, y_1)\) を通り、直線 \( y = x + 2 \) に垂直な直線の方程式を求めます。直線 \( y = x + 2 \) の傾きは 1 なので、垂直な直線の傾きは -1 です。したがって、点 \((x_1, y_1)\) を通る垂直な直線の方程式は次のようになります：
   \[
   y - y_1 = -1(x - x_1)
   \]
   これを整理すると：
   \[
   y = -x + (x_1 + y_1)
   \]

3. この直線と直線 \( y = x + 2 \) の交点を求めます。交点は、対称な点の中点です。

4. 直線 \( y = -x + (x_1 + y_1) \) と \( y = x + 2 \) を連立して、交点を求めます：
   \[
   x + 2 = -x + (x_1 + y_1)
   \]
   これを整理すると：
   \[
   2x = x_1 + y_1 - 2
   \]
   よって、交点の x 座標は：
   \[
   x = \frac{x_1 + y_1 - 2}{2}
   \]
   この x を \( y = x + 2 \) に代入すると：
   \[
   y = \frac{x_1 + y_1 - 2}{2} + 2
   \]
   よって交点の座標は：
   \[
   \left( \frac{x_1 + y_1 - 2}{2}, \frac{x_1 + y_1 + 2}{2} \right)
   \]

5. 対称な点 \((x_2, y_2)\) の座標を求めます。交点が中点であるため、対称な点は次のようになります：
   \[
   x_2 = 2 \left( \frac{x_1 + y_1 - 2}{2} \right) - x_1 = x_1 + y_1 - 2 - x_1 = y_1 - 2
   \]
   \[
   y_2 = 2 \left( \frac{x_1 + y_1 + 2}{2} \right) - y_1 = x_1 + y_1 + 2 - y_1 = x_1 + 2
   \]

したがって、元の点 \((x_1, y_1)\) が \((x, 2x)\) の場合、対称な点は \((2x - 2, x + 2)\) です。

6. 対称な直線の方程式を求めるために、点 \((2x - 2, x + 2)\) を通り、直線 \( y = 2x \) と同じ傾きを持つ直線の方程式を求めます。この直線の傾きは 2 なので、点 \((2x - 2, x + 2)\) を通る直線の方程式は次のようになります：
   \[
   y - (x + 2) = 2(x - (2x - 2))
   \]
   これを整理すると：
   \[
   y - x - 2 = 2(x - 2x + 2)
   \]
   \[
   y - x - 2 = 2(-x + 2)
   \]
   \[
   y - x - 2 = -2x + 4
   \]
   \[
   y = -x + 2
   \]

よって、直線 \( y = 2x \) の直線 \( y = x + 2 \) に関して対称な直線の方程式は \( y = -x + 2 \) です。

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3. 直線の方程式の変形方法についてもっと学びたいですか？
4. 垂直二等分線の求め方を知りたいですか？
5. 点の対称性に関する問題を解いてみたいですか？

**Tip:** 反射の問題では、対称軸に垂直な直線と交点を見つけることが鍵となります。

Learn how to find the equation of a line symmetric to y = 2x with respect to the line y = x + 2. This problem involves concepts of symmetry in geometry and equations of lines, using the midpoint formula to determine coordinates. Suitable for high school students.

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