Para resolver la integral de contorno $\oint _{c} \left(\sin(\pi i z) + \frac{1}{z^{2}} + 4 \operatorname{Re}(i z)\right) \, dz$ sobre el cuadrado centrado en el origen con lados que distan 1 unidad del origen y orientación en sentido horario, podemos proceder de la siguiente manera:

Primero, observemos los componentes de la integral:

1. $\sin(\pi i z)$
2. $\frac{1}{z^{2}}$
3. $4 \operatorname{Re}(i z)$

La curva $C$ es un cuadrado centrado en el origen con lados de longitud 2 (ya que cada lado dista 1 del origen) y orientación en sentido horario.

Análisis de los Componentes de la Integral

1. $\sin(\pi i z)$:

   • Esta función es entera (analítica en todo $\mathbb{C}$).
   • La integral de una función entera sobre una curva cerrada en el plano complejo es cero (por el Teorema de Cauchy).

2. $\frac{1}{z^{2}}$:

   • Esta función tiene un polo de orden 2 en $z = 0$.
   • Usando la fórmula de la integral de contorno para un polo de orden 2: $\oint_{C} \frac{1}{z^2} \, dz = 2\pi i \cdot \text{Residuo}\left(\frac{1}{z^2}, 0\right) = 2\pi i \cdot 0 = 0$ El residuo en $z = 0$ es 0.

3. $4 \operatorname{Re}(i z)$:

   • $\operatorname{Re}(i z) = \operatorname{Re}(i(x + iy)) = \operatorname{Re}(-y + ix) = -y$.
   • Por lo tanto, $4 \operatorname{Re}(i z) = -4y$.
   • Consideramos $z$ como una variable compleja y notamos que $\operatorname{Re}(i z)$ es puramente imaginario y $\oint_{C} 4 \operatorname{Re}(i z) \, dz$ se puede evaluar directamente.

Dado que la curva es un cuadrado centrado en el origen, podemos aplicar el teorema de Cauchy-Goursat que afirma que la integral de una función analítica sobre una curva cerrada en el sentido horario es $0$ si no hay singularidades dentro de la curva, o puede simplificarse si conocemos los residuos.

Deformación del Contorno

La idea de deformar el contorno a una circunferencia de radio 1/2 no simplifica significativamente este problema porque:

• $\sin(\pi i z)$ sigue siendo entera y su integral sigue siendo cero.
• $\frac{1}{z^2}$ sigue teniendo el mismo polo en $z = 0$ con la misma contribución cero.
• $4 \operatorname{Re}(i z)$ también se comporta de manera similar debido a su dependencia lineal de $z$.

Por lo tanto, al evaluar la integral original:

$\oint _{c} \left(\sin(\pi i z) + \frac{1}{z^{2}} + 4 \operatorname{Re}(i z)\right) \, dz = 0$

Esto se debe a que la única función que podría contribuir es $\frac{1}{z^{2}}$, y su residuo es cero. Las otras funciones no contribuyen a la integral total.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta específica sobre este procedimiento?

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Puedes preguntar sobre:

1. Cómo se aplica el Teorema de Cauchy en integrales de contorno.
2. Ejemplos de cálculo de residuos en polos de orden superior.
3. Aplicación de la deformación de contornos en integrales complejas.
4. Propiedades de las funciones analíticas en el plano complejo.
5. Ejemplos de integrales de contorno sobre curvas distintas a cuadrados.

Tip: Recuerda siempre verificar si la función es analítica en el dominio y dentro del contorno antes de aplicar teoremas como el de Cauchy.