首先，考虑给定的函数 $f(x) = \sin^2 x + \sin x + \cos^2 x$。

通过三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，可以简化函数：

$f(x) = 1 + \sin x$

所以，$f(x) = 0$ 的条件是：

$1 + \sin x = 0$ $\sin x = -1$

接下来，我们考虑在区间 $\left[0, \frac{n\pi}{2}\right]$ 内 $\sin x = -1$ 的情况。

我们知道 $\sin x$ 在 $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ 处取值为 -1，其中 $k$ 是整数。现在要在区间 $\left[0, \frac{n\pi}{2}\right]$ 上找到使得 $\sin x = -1$ 的所有 $x$ 值。

将这个方程带入区间：

$0 \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \leq \frac{n\pi}{2}$

将不等式两边同时除以 $\pi$：

$0 \leq \frac{3}{2} + 2k \leq \frac{n}{2}$

将不等式乘以 2：

$0 \leq 3 + 4k \leq n$

解得：

$-\frac{3}{4} \leq k \leq \frac{n-3}{4}$

由于 $k$ 是整数，$-\frac{3}{4}$ 和 $\frac{n-3}{4}$ 分别四舍五入为整数。因此 $k$ 的取值范围是：

$k = 0, 1, 2, \ldots, \left\lfloor \frac{n-3}{4} \right\rfloor$

这个区间内 $k$ 的个数恰好是2024个零点，则有：

$\left\lfloor \frac{n-3}{4} \right\rfloor + 1 = 2024$

因此：

$\left\lfloor \frac{n-3}{4} \right\rfloor = 2023$

解得：

$\frac{n-3}{4} \geq 2023$ $n-3 \geq 8092$ $n \geq 8095$

为了确保满足 $\left\lfloor \frac{n-3}{4} \right\rfloor = 2023$，我们还需考虑上限：

$\frac{n-3}{4} < 2024$ $n-3 < 8096$ $n < 8099$

综上所述，实数 $n$ 的取值范围是：

$8095 \leq n < 8099$

请问你有其他问题或需要详细解释吗？

可以选择的问题：

1. 如何验证方程 $\sin x = -1$ 的解？
2. 为什么选择区间 $[0, \frac{n\pi}{2}]$ 进行讨论？
3. 如何确定零点个数的范围？
4. 为什么 $\sin x$ 在 $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ 取 -1？
5. 如何使用不等式来确定 $n$ 的取值范围？

小贴士：在处理涉及三角函数的问题时，利用三角恒等式（如 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$）可以大大简化问题。