Найти наименьшее значение функции

𝑉(𝑡) = 0,04𝑡3 + 0,32 𝑡2 + 0,8𝑡 − 1, где t ϵ (-3;0].

Чтобы найти наименьшее значение функции \( V(t) = 0,04t^3 + 0,32t^2 + 0,8t - 1 \) на отрезке \( t \in (-3; 0] \), сначала найдем производную функции и найдем критические точки, а затем проверим значения функции на границах отрезка и в этих точках.

### Шаг 1: Найти производную \( V(t) \)

Производная функции \( V(t) \) равна:
\[ V'(t) = \frac{d}{dt}(0,04t^3 + 0,32t^2 + 0,8t - 1) \]
\[ V'(t) = 0,12t^2 + 0,64t + 0,8 \]

### Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся, когда \( V'(t) = 0 \):
\[ 0,12t^2 + 0,64t + 0,8 = 0 \]

Разделим уравнение на 0,12 для удобства:
\[ t^2 + \frac{0,64}{0,12}t + \frac{0,8}{0,12} = 0 \]
\[ t^2 + \frac{16}{3}t + \frac{20}{3} = 0 \]

Решим квадратное уравнение:
\[ t^2 + \frac{16}{3}t + \frac{20}{3} = 0 \]

Используем дискриминант:
\[ D = \left(\frac{16}{3}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{20}{3} \]
\[ D = \frac{256}{9} - \frac{80}{3} \]
\[ D = \frac{256}{9} - \frac{240}{9} \]
\[ D = \frac{16}{9} \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:
\[ t = \frac{-\frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9}}}{2} \]
\[ t = \frac{-\frac{16}{3} \pm \frac{4}{3}}{2} \]
\[ t = \frac{-16 \pm 4}{6} \]
\[ t_1 = \frac{-16 + 4}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]
\[ t_2 = \frac{-16 - 4}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \approx -3.33 \]

Корень \( t_2 \approx -3.33 \) не входит в заданный промежуток \( (-3; 0] \), поэтому рассмотрим только \( t_1 = -2 \).

### Шаг 3: Проверить значение функции на границах и в критической точке

Посчитаем значение функции \( V(t) \) на границах и в точке \( t_1 = -2 \):
1. \( t = 0 \)
\[ V(0) = 0,04(0)^3 + 0,32(0)^2 + 0,8(0) - 1 = -1 \]

2. \( t = -2 \)
\[ V(-2) = 0,04(-2)^3 + 0,32(-2)^2 + 0,8(-2) - 1 \]
\[ V(-2) = 0,04(-8) + 0,32(4) + 0,8(-2) - 1 \]
\[ V(-2) = -0,32 + 1,28 - 1,6 - 1 \]
\[ V(-2) = -0,32 + 1,28 - 1,6 - 1 \]
\[ V(-2) = -1,64 \]

3. Приближение к точке -3:
\[ t \to -3 \]
\[ V(t) \approx 0,04(-3)^3 + 0,32(-3)^2 + 0,8(-3) - 1 \]
\[ V(-3) \approx 0,04(-27) + 0,32(9) + 0,8(-3) - 1 \]
\[ V(-3) \approx -1,08 + 2,88 - 2,4 - 1 \]
\[ V(-3) \approx -1,6 \]

### Шаг 4: Сравнить значения

Значения функции \( V(t) \):
- \( V(0) = -1 \)
- \( V(-2) = -1,64 \)
- \( V(-3) \approx -1,6 \)

Наименьшее значение функции достигается в точке \( t = -2 \) и равно \( -1,64 \).

Итак, наименьшее значение функции \( V(t) \) на отрезке \( t \in (-3; 0] \) равно \( -1,64 \).

Хотите ли вы получить подробности решения или у вас есть другие вопросы? Вот 5 вопросов, которые вы можете задать:

1. Как найти наибольшее значение функции на отрезке?
2. Как использовать метод Ньютона для нахождения корней уравнения?
3. Как решать уравнения высших степеней?
4. Что такое производная и как её вычислять?
5. Как найти экстремумы функции с несколькими переменными?

Совет: при исследовании функции на экстремумы всегда проверяйте значения функции на границах отрезка, а также в критических точках внутри него.

Learn how to find the minimum value of function V(t) = 0.04t^3 + 0.32t^2 + 0.8t - 1 on the interval t ∈ (-3; 0]. This problem involves calculus, critical points, and quadratic equations. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation