Hallar el valor de los angulos interiores del triangulo de vértice (1,1),(5,3),(6,-4)

Para hallar los ángulos interiores de un triángulo con vértices en los puntos \((1,1)\), \((5,3)\) y \((6,-4)\), seguiremos estos pasos:

1. **Calcular las longitudes de los lados** del triángulo utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos:
   \[
   d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
   \]
   
   - Lado \(a\) (entre \((5,3)\) y \((6,-4)\)):
     \[
     a = \sqrt{(6-5)^2 + (-4-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7.071
     \]
   
   - Lado \(b\) (entre \((1,1)\) y \((6,-4)\)):
     \[
     b = \sqrt{(6-1)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.071
     \]
   
   - Lado \(c\) (entre \((1,1)\) y \((5,3)\)):
     \[
     c = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.472
     \]

2. **Aplicar la ley de los cosenos** para encontrar los ángulos. La ley de cosenos es:
   \[
   \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
   \]
   Donde \(C\) es el ángulo opuesto al lado \(c\), y \(a\), \(b\), y \(c\) son los lados del triángulo.

   - Para el ángulo \(C\) (opuesto al lado \(c\)):
     \[
     \cos(C) = \frac{7.071^2 + 7.071^2 - 4.472^2}{2 \cdot 7.071 \cdot 7.071} = \frac{50 + 50 - 20}{100} = \frac{80}{100} = 0.8
     \]
     \[
     C = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ
     \]

   - Para el ángulo \(A\) (opuesto al lado \(a\)):
     \[
     \cos(A) = \frac{7.071^2 + 4.472^2 - 7.071^2}{2 \cdot 7.071 \cdot 4.472} = \frac{50 + 20 - 50}{2 \cdot 7.071 \cdot 4.472} = \frac{20}{63.247} \approx 0.316
     \]
     \[
     A = \cos^{-1}(0.316) \approx 71.57^\circ
     \]

   - Para el ángulo \(B\) (opuesto al lado \(b\)):
     \[
     B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 71.57^\circ - 36.87^\circ = 71.56^\circ
     \]

### Resultado:
Los ángulos interiores del triángulo son aproximadamente:
- \(A \approx 71.57^\circ\)
- \(B \approx 71.56^\circ\)
- \(C \approx 36.87^\circ\)

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna duda sobre el proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede verificar que un conjunto de puntos forman un triángulo válido?
2. ¿Cómo se aplica la ley de los senos en un triángulo?
3. ¿Qué otras formas existen para calcular los ángulos de un triángulo en el plano?
4. ¿Cuál es la relación entre los ángulos interiores de un triángulo?
5. ¿Cómo cambiaría el cálculo si uno de los puntos estuviera en el origen?

**Tip**: Siempre verifica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea \(180^\circ\), lo que confirma que los cálculos son consistentes.

Hallar el valor de los ángulos interiores del triángulo de vértice (1,1), (5,3), (6,-4)

Learn how to find the interior angles of a triangle with vertices at (1,1), (5,3), and (6,-4). This problem involves calculating side lengths using the distance formula and applying the Law of Cosines. Suitable for students in Grades 10-12.

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