Pour trouver l'équation du plan passant par les points $A(1, 2, 3)$ et $B(1, 0, 1)$ et parallèle à l'axe des $x$, nous allons procéder en plusieurs étapes.

Étape 1 : Déterminer les vecteurs directeurs

Le plan est parallèle à l'axe des $x$, donc un des vecteurs directeurs du plan est $\vec{u} = (1, 0, 0)$, qui correspond à la direction de l'axe des $x$.

Ensuite, nous pouvons calculer un second vecteur directeur à partir des points $A(1, 2, 3)$ et $B(1, 0, 1)$. Ce vecteur est donné par : $\vec{v} = B - A = (1 - 1, 0 - 2, 1 - 3) = (0, -2, -2)$

Nous avons donc deux vecteurs directeurs pour le plan :

• $\vec{u} = (1, 0, 0)$
• $\vec{v} = (0, -2, -2)$

Étape 2 : Trouver un vecteur normal au plan

Le vecteur normal $\vec{n}$ au plan est obtenu en faisant le produit vectoriel des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}$ Calculons ce déterminant : $\vec{n} = \mathbf{i} \cdot (0 \times -2 - 0 \times -2) - \mathbf{j} \cdot (1 \times -2 - 0 \times 0) + \mathbf{k} \cdot (1 \times -2 - 0 \times 0)$ $\vec{n} = \mathbf{i} \cdot 0 - \mathbf{j} \cdot (-2) + \mathbf{k} \cdot (-2)$ $\vec{n} = (0, 2, -2)$

Le vecteur normal est donc $\vec{n} = (0, 2, -2)$.

Étape 3 : Équation du plan

L'équation générale d'un plan est donnée par : $Ax + By + Cz + D = 0$ où $(A, B, C)$ sont les composantes du vecteur normal $\vec{n}$.

Ici, $A = 0$, $B = 2$, et $C = -2$, donc l'équation du plan devient : $0 \cdot x + 2y - 2z + D = 0$ Ce qui simplifie à : $2y - 2z + D = 0$

Étape 4 : Trouver $D$

Pour déterminer $D$, on utilise les coordonnées d'un des points du plan, par exemple $A(1, 2, 3)$. En substituant $x = 1$, $y = 2$ et $z = 3$ dans l'équation du plan, on obtient : $2(2) - 2(3) + D = 0$ $4 - 6 + D = 0$ $D = 2$

Conclusion

L'équation du plan est donc : $2y - 2z + 2 = 0$ ou encore, en simplifiant : $y - z + 1 = 0$

L'équation du plan est donc $y - z + 1 = 0$.

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :

1. Comment trouver l'équation d'un plan à partir de trois points ?
2. Quelles sont les propriétés des vecteurs directeurs dans un plan ?
3. Pourquoi le produit vectoriel est-il utilisé pour déterminer le vecteur normal d'un plan ?
4. Comment déterminer si un plan est parallèle à un axe donné ?
5. Comment résoudre géométriquement une équation de plan ?

Tip : Lorsque vous avez deux vecteurs, le produit vectoriel est toujours utile pour trouver un vecteur perpendiculaire à ces deux vecteurs.