Trouvez l’´equation du plan passant par les points (1, 2, 3) et (1,0,1) et parall`ele `a l’axes
des x.

Pour trouver l'équation du plan passant par les points \( A(1, 2, 3) \) et \( B(1, 0, 1) \) et parallèle à l'axe des \( x \), nous allons procéder en plusieurs étapes.

### Étape 1 : Déterminer les vecteurs directeurs
Le plan est parallèle à l'axe des \( x \), donc un des vecteurs directeurs du plan est \( \vec{u} = (1, 0, 0) \), qui correspond à la direction de l'axe des \( x \).

Ensuite, nous pouvons calculer un second vecteur directeur à partir des points \( A(1, 2, 3) \) et \( B(1, 0, 1) \). Ce vecteur est donné par :
\[
\vec{v} = B - A = (1 - 1, 0 - 2, 1 - 3) = (0, -2, -2)
\]

Nous avons donc deux vecteurs directeurs pour le plan :
- \( \vec{u} = (1, 0, 0) \)
- \( \vec{v} = (0, -2, -2) \)

### Étape 2 : Trouver un vecteur normal au plan
Le vecteur normal \( \vec{n} \) au plan est obtenu en faisant le produit vectoriel des vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) :
\[
\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}
\]
Calculons ce déterminant :
\[
\vec{n} = \mathbf{i} \cdot (0 \times -2 - 0 \times -2) - \mathbf{j} \cdot (1 \times -2 - 0 \times 0) + \mathbf{k} \cdot (1 \times -2 - 0 \times 0)
\]
\[
\vec{n} = \mathbf{i} \cdot 0 - \mathbf{j} \cdot (-2) + \mathbf{k} \cdot (-2)
\]
\[
\vec{n} = (0, 2, -2)
\]

Le vecteur normal est donc \( \vec{n} = (0, 2, -2) \).

### Étape 3 : Équation du plan
L'équation générale d'un plan est donnée par :
\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]
où \( (A, B, C) \) sont les composantes du vecteur normal \( \vec{n} \).

Ici, \( A = 0 \), \( B = 2 \), et \( C = -2 \), donc l'équation du plan devient :
\[
0 \cdot x + 2y - 2z + D = 0
\]
Ce qui simplifie à :
\[
2y - 2z + D = 0
\]

### Étape 4 : Trouver \( D \)
Pour déterminer \( D \), on utilise les coordonnées d'un des points du plan, par exemple \( A(1, 2, 3) \). En substituant \( x = 1 \), \( y = 2 \) et \( z = 3 \) dans l'équation du plan, on obtient :
\[
2(2) - 2(3) + D = 0
\]
\[
4 - 6 + D = 0
\]
\[
D = 2
\]

### Conclusion
L'équation du plan est donc :
\[
2y - 2z + 2 = 0
\]
ou encore, en simplifiant :
\[
y - z + 1 = 0
\]

L'équation du plan est donc \( y - z + 1 = 0 \).

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :
1. Comment trouver l'équation d'un plan à partir de trois points ?
2. Quelles sont les propriétés des vecteurs directeurs dans un plan ?
3. Pourquoi le produit vectoriel est-il utilisé pour déterminer le vecteur normal d'un plan ?
4. Comment déterminer si un plan est parallèle à un axe donné ?
5. Comment résoudre géométriquement une équation de plan ?

**Tip :** Lorsque vous avez deux vecteurs, le produit vectoriel est toujours utile pour trouver un vecteur perpendiculaire à ces deux vecteurs.

Trouvez l’équation du plan passant par les points (1, 2, 3) et (1,0,1) et parallèle à l’axes des x.

Discover how to find the equation of a plane passing through the points (1, 2, 3) and (1, 0, 1) that is parallel to the x-axis. This solution involves using vector geometry, calculating a normal vector, and applying the general equation of a plane. Suitable for Grades 10-12.

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