Για να υπολογίσουμε το όριο της έκφρασης $\frac{x^2 - 16}{x + 4}$ καθώς $x \to -4$, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Αρχική παρατήρηση: Πρώτα, ελέγχουμε αν μπορούμε να απλοποιήσουμε την έκφραση.

Η έκφραση είναι:

$\frac{x^2 - 16}{x + 4}$

2. Αναγνώριση κοινών παραγόντων: Παρατηρούμε ότι το $x^2 - 16$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί:

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$

Άρα, η αρχική έκφραση γίνεται:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4}$

3. Απλοποίηση: Μπορούμε να απλοποιήσουμε τη συνάρτηση διαιρώντας το $(x + 4)$:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} = x - 4 \quad \text{για} \quad x \neq -4$

4. Υπολογισμός του ορίου: Τώρα, υπολογίζουμε το όριο της απλοποιημένης έκφρασης καθώς $x \to -4$:

$\lim_{x \to -4} (x - 4) = -4 - 4 = -8$

Συνεπώς, το όριο είναι:

$\lim_{x \to -4} \frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8$

Αν έχετε άλλες ερωτήσεις ή χρειάζεστε περισσότερες λεπτομέρειες, παρακαλώ ενημερώστε με. Επίσης, δείτε παρακάτω μερικές ερωτήσεις που μπορεί να θέλετε να ρωτήσετε:

1. Πώς να επιλύσω μια τετραγωνική εξίσωση;
2. Μπορείτε να εξηγήσετε την έννοια των παραγώγων;
3. Τι είναι η συνάρτηση ημιτόνου και πώς χρησιμοποιείται;
4. Πώς βρίσκουμε τα όρια των συναρτήσεων;
5. Μπορείτε να με βοηθήσετε να κατανοήσω τις ολοκληρώσεις;

Συμβουλή: Όταν επιλύετε μαθηματικά προβλήματα, βεβαιωθείτε ότι κατανοείτε τα βήματα της επίλυσης και όχι μόνο το τελικό αποτέλεσμα. Αυτό θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση και στην εφαρμογή των γνώσεων σε άλλες περιπτώσεις.