Kvadratu čiji su nasuprotni vrhovi A(-5, 6) i C(3, 2) opisana je kružnica. Odredite:

a) jednadžbu te kružnice

b) površinu lika omeđenog kružnicom i kvadratom.

Da bismo riješili ovaj zadatak, krenimo redom.

### Dio a) Jednadžba kružnice opisane kvadratu

Za kvadrat čiji su nasuprotni vrhovi \( A(-5, 6) \) i \( C(3, 2) \), najprije ćemo odrediti središte kvadrata, koje je ujedno i središte kružnice. Središte \( S \) možemo pronaći kao sredinu dužine AC:

\[
S\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = S\left(\frac{-5 + 3}{2}, \frac{6 + 2}{2}\right) = S\left(-1, 4\right)
\]

Središte kružnice je točka \( S(-1, 4) \).

Polumjer kružnice \( r \) je jednak polovici dijagonale kvadrata. Dijagonalu \( AC \) možemo izračunati pomoću udaljenosti između točaka \( A \) i \( C \):

\[
AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
\]

Polumjer kružnice je:

\[
r = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}
\]

Jednadžba kružnice s centrom u točki \( S(-1, 4) \) i polumjerom \( r = 2\sqrt{5} \) je:

\[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = (2\sqrt{5})^2
\]

\[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20
\]

### Dio b) Površina lika omeđenog kružnicom i kvadratom

Površina kvadrata \( P_{\text{kvadrat}} \) može se odrediti na temelju duljine stranice. Budući da je dijagonala kvadrata \( 4\sqrt{5} \), stranica kvadrata \( a \) može se izračunati pomoću formule za dijagonalu kvadrata:

\[
a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{10}
\]

Površina kvadrata je:

\[
P_{\text{kvadrat}} = a^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \times 10 = 40
\]

Površina kružnice \( P_{\text{kružnica}} \) može se izračunati pomoću polumjera \( r = 2\sqrt{5} \):

\[
P_{\text{kružnica}} = \pi r^2 = \pi (2\sqrt{5})^2 = 20\pi
\]

Površina lika omeđenog kružnicom i kvadratom je razlika između površine kvadrata i površine kružnice:

\[
P_{\text{lik}} = P_{\text{kružnica}} - P_{\text{kvadrat}} = 20\pi - 40
\]

Dakle, jednadžba kružnice je:

\[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20
\]

A površina lika omeđenog kružnicom i kvadratom je:

\[
P_{\text{lik}} = 20\pi - 40
\]

---

Imate li dodatnih pitanja ili trebate detaljnija objašnjenja? Evo nekoliko povezanih pitanja za daljnju vježbu:

1. Kako biste izračunali opseg kvadrata?
2. Kako se računa površina kvadrata ako su poznate samo koordinate jednog vrha?
3. Koja je formula za udaljenost između dvije točke u ravnini?
4. Kako biste opisali kružnicu ako su dani svi vrhovi kvadrata?
5. Može li se jednadžba kružnice izračunati ako znamo samo polumjer i jednu točku na kružnici?

**Tip:** Kada imate dijagonalu kvadrata, lako možete izračunati duljinu stranice koristeći Pitagorin poučak ili formule specifične za kvadrat.

Learn how to find the equation of a circle passing through points A(-5, 6) and C(3, 2) and calculate the area of the figure enclosed by the circle and the square. This problem involves coordinate geometry, circle equations, and area calculations, suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation