Tentukan dua digit terakhir dari 2003^2002^2001

Untuk menentukan dua digit terakhir dari \( 2003^{2002^{2001}} \), kita perlu menghitung:

\[
2003^{2002^{2001}} \mod 100
\]

Karena \( 2003 \equiv 3 \mod 100 \), kita cukup menghitung \( 3^{2002^{2001}} \mod 100 \).

### Langkah-langkah:
1. **Sederhanakan masalah:**
   Kita sekarang harus menghitung dua digit terakhir dari \( 3^{2002^{2001}} \). Jadi, kita harus menemukan \( 3^k \mod 100 \), dengan \( k = 2002^{2001} \).

2. **Gunakan Teorema Euler:**
   Untuk menghitung \( 3^k \mod 100 \), kita dapat menggunakan Teorema Euler. Karena \( \phi(100) = 40 \) (fungsi Euler untuk 100), kita tahu bahwa:
   \[
   3^{40} \equiv 1 \mod 100
   \]
   Ini berarti kita cukup menghitung \( k \mod 40 \).

3. **Hitung \( k \mod 40 \):**
   Kita ingin menghitung \( 2002^{2001} \mod 40 \). Karena \( 2002 \equiv 2 \mod 40 \), kita perlu menghitung \( 2^{2001} \mod 40 \).

4. **Sederhanakan \( 2^{2001} \mod 40 \):**
   Dengan mengurai modulusnya, kita pecah ke modulus 8 dan 5, lalu gabungkan hasilnya dengan Teorema Sisa Cina.
   - \( 2^{2001} \mod 8 = 0 \) (karena \( 2^3 = 8 \), kekuatan lebih dari 3 akan habis modulo 8).
   - \( 2^{2001} \mod 5 \): Dari siklusnya, \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \), jadi kita hitung \( 2001 \mod 4 \), dan \( 2001 \equiv 1 \mod 4 \), sehingga \( 2^{2001} \equiv 2^1 = 2 \mod 5 \).

5. **Gunakan Teorema Sisa Cina:**
   Dari hasil di atas, kita cari bilangan yang sesuai dengan:
   \[
   x \equiv 0 \mod 8
   \]
   \[
   x \equiv 2 \mod 5
   \]
   Dengan metode gabungan, kita dapatkan \( x \equiv 18 \mod 40 \).

6. **Kembali ke masalah awal:**
   Sekarang kita tahu \( 3^{2002^{2001}} \equiv 3^{18} \mod 100 \). Hitung \( 3^{18} \mod 100 \) menggunakan metode pemangkatan berulang:

   - \( 3^2 = 9 \)
   - \( 3^4 = 81 \)
   - \( 3^8 = 6561 \equiv 61 \mod 100 \)
   - \( 3^{16} = 61^2 = 3721 \equiv 21 \mod 100 \)
   - \( 3^{18} = 3^{16} \times 3^2 = 21 \times 9 = 189 \equiv 89 \mod 100 \)

### Jadi, dua digit terakhir dari \( 2003^{2002^{2001}} \) adalah **89**.

Apakah ada bagian yang ingin dijelaskan lebih lanjut atau apakah ada pertanyaan lain? 

Berikut beberapa pertanyaan terkait:
1. Apa itu Teorema Euler dan bagaimana cara menggunakannya dalam kasus ini?
2. Bagaimana Teorema Sisa Cina bekerja untuk menghitung modulus gabungan?
3. Mengapa pemangkatan modulo dilakukan dengan teknik pemangkatan berulang?
4. Apa pentingnya menghitung pangkat besar modulo bilangan kecil dalam matematika terapan?
5. Bagaimana siklus modulus kecil membantu menyederhanakan perhitungan eksponensial besar?

**Tip:** Saat menghadapi eksponen besar dalam perhitungan modulus, sering kali berguna memecah masalah menggunakan sifat siklus dan Teorema Euler untuk mempercepat proses.

Pelajari cara menentukan dua digit terakhir dari 2003^2002^2001 menggunakan aritmetika modular, teorema Euler, dan teorema sisa Cina. Masalah ini mencakup konsep-konsep utama matematika tingkat lanjutan seperti eksponensiasi modular. Cocok untuk mahasiswa atau pelajar tingkat universitas.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation