Tentukan dua digit terakhir dari 2003^2002^2001

Untuk mencari dua digit terakhir dari \(2003^{2002^{2001}}\), kita bisa menggunakan konsep *modulus* atau sisa hasil bagi, terutama modulus 100, karena kita hanya tertarik pada dua digit terakhir. Kita akan menggunakan beberapa langkah penting:

### Langkah 1: Mengubah basis modulo 100
Kita ingin menghitung \(2003^{2002^{2001}} \mod 100\). Namun, menghitung pangkat sebesar itu langsung sangat sulit. Untuk itu, kita dapat menyederhanakan terlebih dahulu basisnya:

\[
2003 \mod 100 = 3
\]

Jadi, kita sebenarnya perlu menghitung \(3^{2002^{2001}} \mod 100\).

### Langkah 2: Menggunakan teorema Euler
Untuk modulus 100, kita dapat menggunakan teorema Euler. Euler’s Totient Function untuk 100 adalah:

\[
\phi(100) = 100 \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 - \frac{1}{5} \right) = 40
\]

Teorema Euler menyatakan bahwa jika \(a\) dan \(n\) adalah bilangan relatif prima, maka \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n\). Jadi, untuk menghitung \(3^{2002^{2001}} \mod 100\), kita cukup menghitung eksponen \(2002^{2001} \mod 40\), karena \(3^{40} \equiv 1 \mod 100\).

### Langkah 3: Menyederhanakan eksponen
Sekarang kita perlu menghitung \(2002^{2001} \mod 40\). Pertama, kita modifikasi \(2002 \mod 40\):

\[
2002 \mod 40 = 2
\]

Jadi, kita perlu menghitung \(2^{2001} \mod 40\). Untuk ini, kita bisa menggunakan pola siklus dalam pangkat 2 modulo 40:

\[
2^1 \equiv 2 \mod 40
\]
\[
2^2 \equiv 4 \mod 40
\]
\[
2^3 \equiv 8 \mod 40
\]
\[
2^4 \equiv 16 \mod 40
\]
\[
2^5 \equiv 32 \mod 40
\]
\[
2^6 \equiv 24 \mod 40
\]
\[
2^7 \equiv 8 \mod 40
\]

Pola ini berulang setiap 4 kali (lihat bahwa \(2^5 \equiv 32 \mod 40\) kembali ke nilai kecil). Jadi, kita cukup menghitung \(2001 \mod 4\):

\[
2001 \mod 4 = 1
\]

Oleh karena itu, \(2^{2001} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 40\).

### Langkah 4: Menghitung pangkat akhir
Sekarang kita tahu bahwa eksponennya adalah 2, sehingga kita perlu menghitung \(3^2 \mod 100\):

\[
3^2 = 9
\]

Jadi, dua digit terakhir dari \(2003^{2002^{2001}}\) adalah **09**.

---

Apakah penjelasan ini membantu? Ingin mendalami lebih lanjut atau ada pertanyaan tambahan?

Berikut beberapa pertanyaan lanjutan yang mungkin terkait:
1. Bagaimana cara kerja teorema Euler dalam menyederhanakan perhitungan modulus?
2. Bagaimana jika modulusnya bukan 100, tapi bilangan lain seperti 50 atau 25?
3. Dapatkah pola dalam pangkat bilangan lain selain 2 ditemukan menggunakan metode serupa?
4. Apa langkah yang akan digunakan jika bilangan eksponen lebih kecil?
5. Bagaimana cara menghitung dua digit terakhir jika bilangan yang diangkat pangkatnya lebih besar lagi?

**Tip**: Memahami pola siklus dalam perhitungan modulus sangat membantu untuk mengatasi pangkat besar dengan cepat!

Explore how to find the last two digits of 2003 raised to the power of 2002^2001 using modular arithmetic. This solution uses Euler's Theorem and cycle analysis in exponentiation to simplify the calculations. Perfect for advanced high school and undergraduate math students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation