Diberikan fungsi $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+8}$, kita akan mencari domain dan range dari fungsi ini.

Domain

Untuk menentukan domain, kita harus memperhatikan dua hal:

1. Ekspresi $\sqrt{x+2}$ harus didefinisikan, yang berarti bahwa $x+2 \geq 0$. Jadi, $x \geq -2$.
2. Karena ada pecahan $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$, nilai $\sqrt{x+2}$ tidak boleh sama dengan nol. Oleh karena itu, $x+2 \neq 0$, sehingga $x \neq -2$.

Dari syarat-syarat di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa:

• $x \geq -2$, tetapi $x \neq -2$ karena adanya pembagian oleh nol pada $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$.

Jadi, domain dari fungsi ini adalah $x > -2$.

Range

Untuk mencari range, kita menganalisis perilaku fungsi:

• Untuk $x > -2$, $\sqrt{x+8}$ akan selalu bernilai non-negatif karena akar kuadrat dari bilangan positif.
• Karena $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ akan semakin kecil nilainya seiring bertambahnya $x$, tetapi tetap positif, keseluruhan fungsi $f(x)$ akan memiliki nilai minimum yang positif.
• Ketika $x$ semakin besar, nilai $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ mendekati nol, sementara $\sqrt{x+8}$ terus bertambah besar, sehingga nilai fungsi terus meningkat.

Dari observasi tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa range dari fungsi ini adalah $f(x) > 0$.

Kesimpulan

• Domain: $x > -2$
• Range: $f(x) > 0$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan lain?
Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan domain dari fungsi lain yang memiliki akar kuadrat?
2. Apa yang terjadi jika ada pembagian dengan nol pada fungsi?
3. Bagaimana cara mencari range fungsi yang lebih kompleks?
4. Mengapa fungsi ini memiliki domain $x > -2$, bukan $x \geq -2$?
5. Bagaimana perilaku fungsi $f(x)$ ketika $x$ mendekati tak hingga?

Tip: Untuk mencari domain fungsi, selalu periksa syarat agar operasi seperti akar atau pembagian tidak menyebabkan nilai tak terdefinisi.