Distribución de Poisson.
Ejercicio 1. Las llamadas de servicio llegan a un centro de salud de acuerdo con un proceso
de Poisson con un promedio de 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que:
a) Lleguen exactamente 5 personas en cualquier minuto.
b) No más de 4 llamadas lleguen en cualquier minuto.
c) Lleguen menos de 2 llamadas en cualquier minuto.
d) Lleguen más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos

La distribución de Poisson se utiliza para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo dado, siempre que estos eventos ocurran de manera independiente y con una tasa promedio constante. La fórmula de la distribución de Poisson es:

\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\]

Donde:
- \(P(X = k)\) es la probabilidad de que ocurran exactamente \(k\) eventos,
- \(\lambda\) es el número promedio de eventos que ocurren en el intervalo (en este caso, el promedio de llamadas),
- \(k\) es el número de eventos que queremos que ocurran,
- \(e\) es el número de Euler, aproximadamente 2.718.

Para este ejercicio, el promedio es \(\lambda = 2.7\) llamadas por minuto.

### a) Probabilidad de que lleguen exactamente 5 personas en cualquier minuto.

Usamos la fórmula de Poisson para \(k = 5\) y \(\lambda = 2.7\):

\[
P(X = 5) = \frac{(2.7)^5 e^{-2.7}}{5!}
\]

### b) Probabilidad de que no más de 4 llamadas lleguen en cualquier minuto.

Esta es la probabilidad de que lleguen 0, 1, 2, 3 o 4 llamadas. Debemos calcular la suma de estas probabilidades:

\[
P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
\]

### c) Probabilidad de que lleguen menos de 2 llamadas en cualquier minuto.

Esta es la probabilidad de que lleguen 0 o 1 llamadas:

\[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)
\]

### d) Probabilidad de que lleguen más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos.

Si el promedio es de 2.7 llamadas por minuto, en 5 minutos el promedio será:

\[
\lambda_{5min} = 2.7 \times 5 = 13.5
\]

Entonces necesitamos calcular \(P(X > 10)\), que es la probabilidad de que lleguen más de 10 llamadas en 5 minutos. Esto se puede calcular como:

\[
P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10)
\]

Debemos calcular \(P(X \leq 10)\), que es la suma de las probabilidades de \(P(X = 0)\) a \(P(X = 10)\).

Voy a realizar los cálculos para cada uno de los apartados.

### Resolviendo...
Aquí tienes los resultados de las probabilidades solicitadas:

a) La probabilidad de que lleguen exactamente 5 personas en cualquier minuto es aproximadamente \(0.0804\) o \(8.04\%\).

b) La probabilidad de que no más de 4 llamadas lleguen en cualquier minuto es aproximadamente \(0.8629\) o \(86.29\%\).

c) La probabilidad de que lleguen menos de 2 llamadas en cualquier minuto es aproximadamente \(0.2487\) o \(24.87\%\).

d) La probabilidad de que lleguen más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos es aproximadamente \(0.7888\) o \(78.88\%\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se deriva la fórmula de la distribución de Poisson?
2. ¿En qué situaciones se puede utilizar una distribución de Poisson?
3. ¿Qué sucede si aumenta la tasa promedio \(\lambda\) en una distribución de Poisson?
4. ¿Cómo se calcula la media y la varianza en una distribución de Poisson?
5. ¿Cuál es la relación entre la distribución binomial y la de Poisson?

**Tip**: La distribución de Poisson es ideal para modelar eventos que ocurren de manera independiente y con una tasa constante en un intervalo de tiempo o espacio.

Distribución de Poisson. Ejercicio 1. Las llamadas de servicio llegan a un centro de salud de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio de 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que: a) Lleguen exactamente 5 personas en cualquier minuto. b) No más de 4 llamadas lleguen en cualquier minuto. c) Lleguen menos de 2 llamadas en cualquier minuto. d) Lleguen más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos.

Resuelve un ejercicio basado en la Distribución de Poisson con un promedio de 2.7 llamadas por minuto. Aprende a calcular la probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas, menos de 2, no más de 4, y más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos. Ejercicio adecuado para estudiantes de nivel preuniversitario y universitario.

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