For å bestemme den deriverte av funksjonen $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x^3 - 2x$ og deretter evaluere den ved $x = 5$, følger vi disse stegene:

1. Derivasjon av funksjonen:

Vi deriverer $f(x)$ med hensyn til $x$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) + \frac{d}{dx}\left(x^3\right) - \frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Derivasjonene er:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = x$ $\frac{d}{dx}\left(x^3\right) = 3x^2$ $\frac{d}{dx}\left(2x\right) = 2$

Så, den deriverte funksjonen er:

$f'(x) = x + 3x^2 - 2$

2. Evaluer $f'(5)$:

Vi setter inn $x = 5$ i den deriverte funksjonen:

$f'(5) = 5 + 3(5)^2 - 2$

$f'(5) = 5 + 3(25) - 2 = 5 + 75 - 2 = 78$

Dermed er $f'(5) = 78$.

Vil du ha mer informasjon om hvordan man deriverer eller om det er noe annet du lurer på?

Relaterte spørsmål:

1. Hva betyr den deriverte av en funksjon i en grafisk kontekst?
2. Hvordan kan vi tolke verdien av den deriverte i et fysisk problem?
3. Hvordan påvirker høyere ordens derivasjoner funksjonen?
4. Hva skjer med funksjonen når den deriverte er lik null?
5. Kan vi bruke kjerneregelen på komplekse funksjoner for å finne deres derivater?

Tips: Når du jobber med polynomer, er det nyttig å kjenne standard derivasjonsregler for potensfunksjoner, slik at du raskt kan finne derivatet.