For at bestemme $f'(5)$, skal vi først finde den afledte funktion $f'(x)$ af $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x^3 - 2x$.

Trin 1: Differentiering af $f(x)$

Vi differentierer hver enkelt led i funktionen $f(x)$:

1. $\frac{1}{2}x^2$ differentieres til $x$ (da $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$).
2. $x^3$ differentieres til $3x^2$ (da $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$).
3. $-2x$ differentieres til $-2$ (da $\frac{d}{dx}(-2x) = -2$).

Så $f'(x) = x + 3x^2 - 2$.

Trin 2: Bestem $f'(5)$

Nu indsætter vi $x = 5$ i $f'(x)$ for at finde $f'(5)$:

$f'(5) = 5 + 3(5)^2 - 2$ $f'(5) = 5 + 3(25) - 2$ $f'(5) = 5 + 75 - 2$ $f'(5) = 78$

Så $f'(5) = 78$.

Vil du have flere detaljer eller har du andre spørgsmål?

Her er 5 relaterede spørgsmål til at udvide din forståelse:

1. Hvordan finder man den anden afledte $f''(x)$ af funktionen?
2. Hvad repræsenterer den afledte funktion geometrisk?
3. Hvordan kan vi bruge den afledte funktion til at finde tangentens ligning til grafen i et punkt?
4. Hvad er betydningen af tegnene for $f'(x)$ i forbindelse med stigende eller faldende funktioner?
5. Hvordan kan vi bruge $f'(x)$ til at finde ekstrempunkter for $f(x)$?

Tip: At forstå, hvordan man differentierer komplekse funktioner, er nøglen til at løse problemer, der involverer hældninger, optimering og bevægelse i matematik.