Opgave 2:
Lad f(x)=1/2 x^2+x^3-2x.
	Bestem f'(5).

For at bestemme \( f'(5) \), skal vi først finde den afledte funktion \( f'(x) \) af \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x^3 - 2x \).

### Trin 1: Differentiering af \( f(x) \)
Vi differentierer hver enkelt led i funktionen \( f(x) \):

1. \( \frac{1}{2}x^2 \) differentieres til \( x \) (da \( \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2} \cdot 2x = x \)).
2. \( x^3 \) differentieres til \( 3x^2 \) (da \( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \)).
3. \( -2x \) differentieres til \( -2 \) (da \( \frac{d}{dx}(-2x) = -2 \)).

Så \( f'(x) = x + 3x^2 - 2 \).

### Trin 2: Bestem \( f'(5) \)
Nu indsætter vi \( x = 5 \) i \( f'(x) \) for at finde \( f'(5) \):

\[
f'(5) = 5 + 3(5)^2 - 2
\]
\[
f'(5) = 5 + 3(25) - 2
\]
\[
f'(5) = 5 + 75 - 2
\]
\[
f'(5) = 78
\]

Så \( f'(5) = 78 \).

Vil du have flere detaljer eller har du andre spørgsmål?

Her er 5 relaterede spørgsmål til at udvide din forståelse:

1. Hvordan finder man den anden afledte \( f''(x) \) af funktionen?
2. Hvad repræsenterer den afledte funktion geometrisk?
3. Hvordan kan vi bruge den afledte funktion til at finde tangentens ligning til grafen i et punkt?
4. Hvad er betydningen af tegnene for \( f'(x) \) i forbindelse med stigende eller faldende funktioner?
5. Hvordan kan vi bruge \( f'(x) \) til at finde ekstrempunkter for \( f(x) \)?

**Tip:** At forstå, hvordan man differentierer komplekse funktioner, er nøglen til at løse problemer, der involverer hældninger, optimering og bevægelse i matematik.

Learn how to calculate the derivative f'(5) for the function f(x) = 1/2 x^2 + x^3 - 2x with detailed step-by-step solution. This problem involves differentiation and derivative rules, suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation