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Para derivar la función \( f(x) = \ln\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\right) \) directamente usando la regla del cociente y la regla de la cadena, sigamos estos pasos:

### Paso 1: Regla de la cadena

La función se puede ver como \( f(x) = \ln(u(x)) \) donde \( u(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \).

La derivada de \( \ln(u(x)) \) es:
\[
f'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x)
\]

### Paso 2: Derivar \( u(x) \) usando la regla del cociente

Dado \( u(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \), utilizamos la regla del cociente:
\[
\text{Si } u(x) = \frac{g(x)}{h(x)}, \text{ entonces } u'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
\]

Donde \( g(x) = x \) y \( h(x) = \sqrt{x^2 + 9} \).

1. Derivadas individuales:
   \[
   g'(x) = 1
   \]
   \[
   h(x) = (x^2 + 9)^{1/2} \Rightarrow h'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 9)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}
   \]

2. Aplicamos la regla del cociente:
   \[
   u'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 9} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}}{(x^2 + 9)}
   \]
   \[
   u'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 9}}}{x^2 + 9}
   \]
   \[
   u'(x) = \frac{x^2 + 9 - x^2}{(x^2 + 9)\sqrt{x^2 + 9}}
   \]
   \[
   u'(x) = \frac{9}{(x^2 + 9)\sqrt{x^2 + 9}}
   \]

### Paso 3: Derivar \( f(x) \)

Ahora sustituimos \( u'(x) \) en la derivada de \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}} \cdot \frac{9}{(x^2 + 9)\sqrt{x^2 + 9}}
\]
\[
f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{x} \cdot \frac{9}{(x^2 + 9)\sqrt{x^2 + 9}}
\]
\[
f'(x) = \frac{9}{x(x^2 + 9)}
\]

### Resultado final

La derivada de la función dada es:

\[
f'(x) = \frac{9}{x(x^2 + 9)}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar en el tema:

1. ¿Cómo afecta la simplificación de funciones logarítmicas a la derivación?
2. ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada de esta función?
3. ¿Cómo se utiliza la regla del cociente en derivadas más complejas?
4. ¿Por qué es importante la regla de la cadena en la derivación de funciones compuestas?
5. ¿Qué otros métodos podrían emplearse para derivar esta función?
6. ¿Cómo cambia el proceso si la función estuviera elevada a una potencia?
7. ¿Qué papel juega el denominador en la determinación de puntos críticos?
8. ¿Cómo se puede verificar el resultado de la derivada de manera analítica o numérica?

**Tip:** Al derivar una función compuesta, descomponerla en funciones más simples puede facilitar el uso de la regla de la cadena y otras reglas de derivación.

Learn how to derive the function f(x) = ln(x / sqrt(x^2 + 9)) using logarithmic differentiation, chain rule, and quotient rule step-by-step. This problem involves advanced calculus concepts suitable for advanced high school or college students.

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