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Para derivar la función \( f(x) = \ln\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\right) \) usando las propiedades del logaritmo natural y las reglas de derivación, seguiremos los pasos a continuación:

### Paso 1: Simplificación utilizando propiedades logarítmicas

La función se puede reescribir utilizando la propiedad de los logaritmos:  
\[
\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)
\]

Aplicando esto, obtenemos:

\[
f(x) = \ln(x) - \ln(\sqrt{x^2 + 9})
\]

### Paso 2: Derivación

Ahora derivamos la función \( f(x) \):

1. Derivada de \( \ln(x) \): 
   \[
   \frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}
   \]

2. Derivada de \( \ln(\sqrt{x^2 + 9}) \):
   \[
   \ln(\sqrt{x^2 + 9}) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 9)
   \]
   \[
   \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} \ln(x^2 + 9)\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 9} \cdot (2x) = \frac{x}{x^2 + 9}
   \]

### Paso 3: Combinar los resultados

La derivada de \( f(x) \) es:

\[
f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 9}
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 9}
\]

### Resultado final

La derivada de la función dada es:

\[
f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 9}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar en el tema:

1. ¿Cómo se puede interpretar gráficamente la derivada de una función?
2. ¿Qué significado tiene la derivada en el contexto de optimización?
3. ¿Cómo afecta el denominador de la función original a la derivada?
4. ¿Por qué es importante usar propiedades de logaritmos en la simplificación de funciones?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada en un punto específico?
6. ¿Cómo se podría usar esta derivada en problemas de física?
7. ¿Qué otras funciones similares podrían derivarse de la misma manera?
8. ¿Cómo se puede aplicar la regla de la cadena en funciones más complejas?

**Tip:** Siempre que te encuentres con logaritmos en una función a derivar, considera usar propiedades logarítmicas para simplificar el problema antes de derivar.

Learn how to derive the function f(x) = ln(x/(sqrt(x^2 + 9))) step-by-step using logarithmic properties and derivative rules. This problem covers key concepts in logarithms and derivatives, suitable for university-level mathematics students.

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