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Vamos a calcular la primera y la segunda derivada de la función \( f(x) = \frac{\ln(2x)}{\sqrt{x}} \).

### Primera derivada

Primero, simplificamos la función si es posible. Podemos reescribir la función usando propiedades de logaritmos y raíces:

\[
f(x) = \frac{\ln(2x)}{x^{1/2}}
\]

Usamos la regla del cociente para derivar \( f(x) \):

\[
f'(x) = \frac{(\sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(2x))) - (\ln(2x) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}))}{(\sqrt{x})^2}
\]

Necesitamos las derivadas de \(\ln(2x)\) y \(\sqrt{x}\):

\[
\frac{d}{dx}(\ln(2x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}
\]

\[
\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Sustituimos en la regla del cociente:

\[
f'(x) = \frac{(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}) - (\ln(2x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}})}{x}
\]

Simplificamos:

\[
f'(x) = \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\ln(2x)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln(2x)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2 - \ln(2x)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \ln(2x)}{2x^{3/2}}
\]

Por lo tanto, la primera derivada de \( f(x) \) es:

\[
f'(x) = \frac{2 - \ln(2x)}{2x^{3/2}}
\]

### Segunda derivada

Para encontrar la segunda derivada, \( f''(x) \), derivamos \( f'(x) \):

\[
f'(x) = \frac{2 - \ln(2x)}{2x^{3/2}}
\]

Usamos la regla del cociente nuevamente. Sea \( u(x) = 2 - \ln(2x) \) y \( v(x) = 2x^{3/2} \). Entonces, \( f'(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \).

Primero, derivamos \( u(x) \) y \( v(x) \):

\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(2 - \ln(2x)) = -\frac{1}{x}
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{3/2}) = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 3\sqrt{x}
\]

Aplicamos la regla del cociente:

\[
f''(x) = \frac{v(x)u'(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Sustituimos \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) y \( v'(x) \):

\[
f''(x) = \frac{(2x^{3/2})(-\frac{1}{x}) - (2 - \ln(2x))(3\sqrt{x})}{(2x^{3/2})^2}
\]

Simplificamos cada término:

\[
(2x^{3/2})(-\frac{1}{x}) = -2x^{1/2}
\]

\[
(2 - \ln(2x))(3\sqrt{x}) = 3\sqrt{x}(2 - \ln(2x)) = 6\sqrt{x} - 3\sqrt{x}\ln(2x)
\]

Entonces:

\[
f''(x) = \frac{-2x^{1/2} - (6\sqrt{x} - 3\sqrt{x}\ln(2x))}{4x^3} = \frac{-2x^{1/2} - 6\sqrt{x} + 3\sqrt{x}\ln(2x)}{4x^3}
\]

Combinamos términos:

\[
f''(x) = \frac{-8\sqrt{x} + 3\sqrt{x}\ln(2x)}{4x^3} = \frac{\sqrt{x}(-8 + 3\ln(2x))}{4x^3} = \frac{-8 + 3\ln(2x)}{4x^{5/2}}
\]

Por lo tanto, la segunda derivada de \( f(x) \) es:

\[
f''(x) = \frac{-8 + 3\ln(2x)}{4x^{5/2}}
\]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué es la regla del cociente y cómo se aplica en derivadas?
2. ¿Cómo se derivan funciones logarítmicas?
3. ¿Cómo se derivan funciones con raíces?
4. ¿Cuál es el propósito de simplificar una función antes de derivarla?
5. ¿Cómo se puede verificar la corrección de una derivada?
6. ¿Qué técnicas existen para derivar funciones compuestas?
7. ¿Cuál es la importancia de la segunda derivada en el análisis de funciones?
8. ¿Cómo se interpretan los resultados de la primera y segunda derivada en términos de la gráfica de una función?

### Tip:
Al derivar funciones complejas, siempre es útil simplificar la función tanto como sea posible antes de aplicar las reglas de derivación. Esto no solo hace que el proceso de derivación sea más manejable, sino que también reduce la posibilidad de errores.

Learn how to calculate the first and second derivatives of the function f(x) = ln(2x) / sqrt(x) step-by-step. This problem involves derivatives of logarithmic and root functions, suitable for advanced college-level students.

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