مشتق عبارت y=sech^2 x + tanh^2 x را با جزئیات بدست بیاور

برای یافتن مشتق عبارت \( y = \text{sech}^2(x) + \text{tanh}^2(x) \)، باید از قواعد مشتق‌گیری توابع هایپربولیک استفاده کنیم. بیایید این کار را مرحله به مرحله انجام دهیم.

### 1. مشتق \(\text{sech}^2(x)\)
ابتدا باید مشتق \(\text{sech}^2(x)\) را محاسبه کنیم. از قانون زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:

\[
\frac{d}{dx} \left( \text{sech}^2(x) \right) = 2 \cdot \text{sech}(x) \cdot \frac{d}{dx} \left( \text{sech}(x) \right)
\]

از آنجا که \(\text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}\)، مشتق \(\text{sech}(x)\) به صورت زیر است:

\[
\frac{d}{dx} \left( \text{sech}(x) \right) = -\text{sech}(x) \cdot \tanh(x)
\]

پس:

\[
\frac{d}{dx} \left( \text{sech}^2(x) \right) = 2 \cdot \text{sech}(x) \cdot \left(-\text{sech}(x) \cdot \tanh(x)\right)
\]

که نتیجه می‌شود:

\[
\frac{d}{dx} \left( \text{sech}^2(x) \right) = -2 \cdot \text{sech}^2(x) \cdot \tanh(x)
\]

### 2. مشتق \(\text{tanh}^2(x)\)
برای محاسبه مشتق \(\text{tanh}^2(x)\)، باز هم از قانون زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:

\[
\frac{d}{dx} \left( \text{tanh}^2(x) \right) = 2 \cdot \text{tanh}(x) \cdot \frac{d}{dx} \left( \text{tanh}(x) \right)
\]

مشتق \(\text{tanh}(x)\) برابر است با \(\text{sech}^2(x)\)، پس:

\[
\frac{d}{dx} \left( \text{tanh}^2(x) \right) = 2 \cdot \text{tanh}(x) \cdot \text{sech}^2(x)
\]

### 3. مشتق کل
حالا دو مشتق را با هم ترکیب می‌کنیم. مشتق \(y = \text{sech}^2(x) + \text{tanh}^2(x)\) برابر است با:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \text{sech}^2(x) \right) + \frac{d}{dx} \left( \text{tanh}^2(x) \right)
\]

با جایگذاری نتایج دو مرحله قبلی، داریم:

\[
\frac{dy}{dx} = -2 \cdot \text{sech}^2(x) \cdot \tanh(x) + 2 \cdot \text{tanh}(x) \cdot \text{sech}^2(x)
\]

این دو عبارت یکدیگر را خنثی می‌کنند، زیرا برابر هستند ولی علامت مخالف دارند. بنابراین، نتیجه نهایی به صورت زیر است:

\[
\frac{dy}{dx} = 0
\]

### نتیجه نهایی:
مشتق تابع \( y = \text{sech}^2(x) + \text{tanh}^2(x) \) برابر صفر است:

\[
\frac{dy}{dx} = 0
\]

آیا سوال دیگری دارید؟  
در ادامه 5 سوال مرتبط برای بررسی و مطالعه بیشتر:
1. چرا مجموع توابع هایپربولیک خاصی مشتقی برابر صفر دارد؟
2. چگونه می‌توان از مشتقات توابع هایپربولیک در مسائل فیزیکی استفاده کرد؟
3. تفاوت‌های اصلی بین توابع هایپربولیک و مثلثاتی در مشتق‌گیری چیست؟
4. کاربردهای عملی توابع هایپربولیک در علوم مهندسی چیست؟
5. چگونه می‌توان از تکنیک‌های قانون زنجیره‌ای برای مشتق‌گیری ترکیبی استفاده کرد؟

**نکته:** توابع هایپربولیک دارای خواص مشابه با توابع مثلثاتی هستند که در مسائل مختلف علمی و مهندسی به کار می‌روند.

Explore the detailed steps to compute the derivative of the hyperbolic function y = sech^2(x) + tanh^2(x). This solution covers essential concepts such as hyperbolic function derivatives and the chain rule. Perfect for calculus students at the university level.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation