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muestre que las siguientes funciones son linealmente dependiente en toda la recta real con una solución que no sea la trivial

Para mostrar que las funciones \( f(x) = 17 \), \( g(x) = 2 \sin^2(x) \) y \( h(x) = 3 \cos^2(x) \) son linealmente dependientes en toda la recta real, necesitamos encontrar una relación lineal no trivial entre ellas. Esto significa que debemos encontrar constantes \( c_1, c_2, c_3 \), no todas nulas, tales que:

\[
c_1 f(x) + c_2 g(x) + c_3 h(x) = 0
\]

### Paso 1: Escribimos las funciones
- \( f(x) = 17 \)
- \( g(x) = 2 \sin^2(x) \)
- \( h(x) = 3 \cos^2(x) \)

Entonces, buscamos constantes \( c_1, c_2, c_3 \) que satisfagan:

\[
c_1 \cdot 17 + c_2 \cdot 2 \sin^2(x) + c_3 \cdot 3 \cos^2(x) = 0 \quad \text{para todo } x.
\]

### Paso 2: Usamos una identidad trigonométrica
Sabemos que:

\[
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\]

Por lo tanto, podemos expresar una relación entre \( \sin^2(x) \) y \( \cos^2(x) \).

### Paso 3: Simplificamos el sistema
Multiplicamos las funciones por sus constantes:

\[
c_1 \cdot 17 + c_2 \cdot 2 \sin^2(x) + c_3 \cdot 3 \cos^2(x) = 0
\]

\[
17c_1 + 2c_2 \sin^2(x) + 3c_3 \cos^2(x) = 0
\]

### Paso 4: Intentamos igualar términos
Dado que la ecuación debe ser válida para todo \( x \), podemos usar la identidad \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \). Entonces, si reescribimos la ecuación anterior, obtenemos un sistema en función de \( \sin^2(x) \) y \( \cos^2(x) \):

\[
17c_1 + 2c_2 \sin^2(x) + 3c_3 (1 - \sin^2(x)) = 0
\]

Esto se simplifica a:

\[
17c_1 + 2c_2 \sin^2(x) + 3c_3 - 3c_3 \sin^2(x) = 0
\]

Agrupamos los términos en función de \( \sin^2(x) \):

\[
17c_1 + (2c_2 - 3c_3) \sin^2(x) + 3c_3 = 0
\]

### Paso 5: Resolver el sistema
Para que esta igualdad sea cierta para todo \( x \), los coeficientes de \( \sin^2(x) \) y los términos constantes deben ser iguales a 0. Esto nos da el sistema:

1. \( 17c_1 + 3c_3 = 0 \)
2. \( 2c_2 - 3c_3 = 0 \)

### Paso 6: Solución del sistema
Resolvemos el sistema:

- De la segunda ecuación, \( c_2 = \frac{3}{2}c_3 \).
- Sustituimos en la primera ecuación:

\[
17c_1 + 3c_3 = 0 \implies c_1 = -\frac{3}{17}c_3
\]

### Paso 7: Conclusión
Por lo tanto, una solución no trivial es:

\[
c_1 = -\frac{3}{17}, \quad c_2 = \frac{3}{2}, \quad c_3 = 1
\]

Esta combinación muestra que las funciones son linealmente dependientes en toda la recta real. La relación es:

\[
-\frac{3}{17} \cdot 17 + \frac{3}{2} \cdot 2 \sin^2(x) + 1 \cdot 3 \cos^2(x) = 0
\]

¿Tienes alguna duda o quieres más detalles? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa que las funciones sean linealmente dependientes?
2. ¿Qué ocurre si no encontramos una combinación no trivial?
3. ¿Podríamos aplicar otro método para verificar la dependencia lineal?
4. ¿Por qué usamos la identidad trigonométrica \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)?
5. ¿Cómo se relacionan estas funciones con aplicaciones prácticas?

**Tip**: La dependencia lineal entre funciones indica que una puede ser expresada como combinación lineal de las otras, lo que a menudo simplifica cálculos y análisis.

Muestre que las siguientes funciones son linealmente dependiente en toda la recta real con una solución que no sea la trivial.

Aprende a demostrar que las funciones f(x) = 17, g(x) = 2sen^2(x), h(x) = 3cos^2(x) son linealmente dependientes en toda la recta real con una solución no trivial. Este problema cubre conceptos avanzados de álgebra lineal y trigonometría, adecuado para estudiantes de grados 11-12.

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