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muestre que las siguientes funciones son linealmente dependiente en toda la recta real con una solución que no sea la real

Para demostrar que las funciones \( f(x) = 0 \), \( g(x) = \sin x \), y \( h(x) = e^x \) son linealmente dependientes en toda la recta real, necesitamos encontrar una combinación lineal de estas funciones que sea igual a cero, donde no todos los coeficientes sean nulos.

Una combinación lineal de \( f(x) \), \( g(x) \) y \( h(x) \) tiene la forma:

\[
c_1 f(x) + c_2 g(x) + c_3 h(x) = 0
\]

Sustituyendo las funciones:

\[
c_1(0) + c_2 \sin x + c_3 e^x = 0
\]

Esto se simplifica a:

\[
c_2 \sin x + c_3 e^x = 0
\]

Para que esta ecuación sea válida para todo \( x \), necesitamos que \( c_2 = 0 \) y \( c_3 = 0 \), ya que no hay una combinación lineal no trivial de \( \sin x \) y \( e^x \) que sea igual a cero para todo \( x \). Por lo tanto, la única solución que satisface esta ecuación es \( c_2 = c_3 = 0 \).

Por lo tanto, las funciones \( f(x) = 0 \), \( g(x) = \sin x \), y \( h(x) = e^x \) **no son linealmente dependientes en toda la recta real**, ya que la única combinación lineal de estas funciones que resulta en cero es la trivial (con todos los coeficientes nulos).

Si tienes más preguntas o necesitas detalles adicionales, házmelo saber.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué significa que un conjunto de funciones sea linealmente independiente?
2. ¿Por qué las funciones \( \sin x \) y \( e^x \) no pueden ser combinadas linealmente para obtener cero?
3. ¿Existen otros conjuntos de funciones que sean linealmente dependientes?
4. ¿Cómo se prueba la independencia lineal para un conjunto de tres o más funciones?
5. ¿Qué papel juega la función \( f(x) = 0 \) en la independencia o dependencia lineal de este conjunto?

### Tip:
Cuando trabajes con independencia o dependencia lineal, revisa siempre si las funciones pueden ser expresadas como combinaciones lineales de las otras funciones en el conjunto.

Muestre que las siguientes funciones son linealmente dependientes en toda la recta real con una solución que no sea la trivial: f(x) = 0, g(x) = sin(x), h(x) = e^x

Explore the problem of determining whether the functions f(x) = 0, g(x) = sin(x), and h(x) = e^x are linearly dependent on the real line. A detailed explanation using linear algebra concepts and theorems. Suitable for undergraduate students.

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