Math Problem Statement

搬运一个仓库的货物,甲需要8小时,乙需要10小时,丙需要15小时,有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙起先帮助甲搬运,中途又转去帮助乙搬运,最后两个仓库的货物同时搬完.问:丙帮助甲、乙各多少小时?

Solution

设两个仓库的总货物量分别为 AABB ,甲、乙、丙分别搬运货物的速度为 18\frac{1}{8}110\frac{1}{10}115\frac{1}{15}(单位:每小时的货物量)。

设丙帮助甲的时间为 t1t_1 小时,帮助乙的时间为 t2t_2 小时。由题意,两个仓库的货物同时搬完,所以甲、乙完成搬运的总时间相同,记作 TT 小时。

甲在 TT 小时内完成仓库 A 的货物搬运: T18+t1115=1T \cdot \frac{1}{8} + t_1 \cdot \frac{1}{15} = 1

乙在 TT 小时内完成仓库 B 的货物搬运: T110+t2115=1T \cdot \frac{1}{10} + t_2 \cdot \frac{1}{15} = 1

又因为丙帮助甲、乙各 t1t_1 小时和 t2t_2 小时,所以有: t1+t2=Tt_1 + t_2 = T

我们先解甲的方程式: T18+t1115=1T \cdot \frac{1}{8} + t_1 \cdot \frac{1}{15} = 1 T8+t115=1\frac{T}{8} + \frac{t_1}{15} = 1

解乙的方程式: T110+t2115=1T \cdot \frac{1}{10} + t_2 \cdot \frac{1}{15} = 1 T10+t215=1\frac{T}{10} + \frac{t_2}{15} = 1

和: t1+t2=Tt_1 + t_2 = T

我们解甲方程式: T=8(1t115)T = 8(1 - \frac{t_1}{15})

TT 代入乙的方程: 8(1t115)10+t215=1\frac{8(1 - \frac{t_1}{15})}{10} + \frac{t_2}{15} = 1 4(1t115)5+t215=1\frac{4(1 - \frac{t_1}{15})}{5} + \frac{t_2}{15} = 1 454t175+t215=1\frac{4}{5} - \frac{4t_1}{75} + \frac{t_2}{15} = 1 454t175+t215=1\frac{4}{5} - \frac{4t_1}{75} + \frac{t_2}{15} = 1

将分数化为统一的分母: 60754t175+5t275=1\frac{60}{75} - \frac{4t_1}{75} + \frac{5t_2}{75} = 1 604t1+5t275=1\frac{60 - 4t_1 + 5t_2}{75} = 1 604t1+5t2=7560 - 4t_1 + 5t_2 = 75 5t24t1=155t_2 - 4t_1 = 15 t2=15+4t15t_2 = \frac{15 + 4t_1}{5}

又因为: t1+t2=Tt_1 + t_2 = T t1+15+4t15=Tt_1 + \frac{15 + 4t_1}{5} = T t1+3+4t15=Tt_1 + 3 + \frac{4t_1}{5} = T 9t1+155=T\frac{9t_1 + 15}{5} = T T=9t1+155T = \frac{9t_1 + 15}{5}

我们代入甲的方程: 9t1+1558+t115=1\frac{\frac{9t_1 + 15}{5}}{8} + \frac{t_1}{15} = 1 9t1+1540+t115=1\frac{9t_1 + 15}{40} + \frac{t_1}{15} = 1

统一分母: (9t1+15)3+8t1120=1\frac{(9t_1 + 15) \cdot 3 + 8t_1}{120} = 1 27t1+45+8t1120=1\frac{27t_1 + 45 + 8t_1}{120} = 1 35t1+45120=1\frac{35t_1 + 45}{120} = 1 35t1+45=12035t_1 + 45 = 120 35t1=7535t_1 = 75 t1=7535t_1 = \frac{75}{35} t1=157t_1 = \frac{15}{7}

t1t_1 代入 t2t_2t2=Tt1t_2 = T - t_1 T=9t1+155T = \frac{9t_1 + 15}{5} T=9157+155T = \frac{9 \cdot \frac{15}{7} + 15}{5} T=1357+155T = \frac{\frac{135}{7} + 15}{5} T=135+10575T = \frac{\frac{135 + 105}{7}}{5} T=24035T = \frac{240}{35} T=487T = \frac{48}{7}

所以: t2=487157t_2 = \frac{48}{7} - \frac{15}{7} t2=337t_2 = \frac{33}{7}

最终答案是丙帮助甲 157\frac{15}{7} 小时,帮助乙 337\frac{33}{7} 小时。

需要详细解答步骤或有其他问题吗?

接下来你可以问这些问题:

  1. 如何计算圆的面积?
  2. 解释一下勾股定理。
  3. 什么是导数的定义?
  4. 二次方程的求解方法是什么?
  5. 什么是复数?

小贴士:在解决方程时,保持方程的有序性和条理性是至关重要的。

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Rates and Work
Simultaneous Equations
Fractional Equations

Formulas

-

Theorems

-

Suitable Grade Level

Grades 10-12