1) a) Coordonnées des points A, B, D et C dans le repère $(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD})$

Dans le repère $(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD})$, les coordonnées des points sont les suivantes :

• $A(0, 0)$ : puisque c'est l'origine du repère.
• $B(1, 0)$ : puisque $\overrightarrow{AB}$ correspond à l'axe des abscisses.
• $D(0, 1)$ : puisque $\overrightarrow{AD}$ correspond à l'axe des ordonnées.
• $C(1, 1)$ : $C$ est obtenu en additionnant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, donc $C = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.

1) b) Calcul des coordonnées des points E, I et J

• Coordonnées du point E :

On sait que $AE = AC$, ce qui signifie que $E$ est le milieu du segment $[AC]$. Le milieu d'un segment dont les extrémités ont pour coordonnées $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est donné par : $E \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ Donc, $E$ est le milieu de $[A(0,0) ; C(1,1)]$, et ses coordonnées sont : $E \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$

• Coordonnées du point I :

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$. Donc ses coordonnées sont : $I \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 0 \right)$

• Coordonnées du point J :

Le point $J$ est le milieu du segment $[DC]$. Les coordonnées de $D$ et $C$ sont respectivement $(0,1)$ et $(1,1)$, donc les coordonnées de $J$ sont : $J \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$

2) Démonstration que les points I, E et D sont alignés

Pour démontrer que les points $I$, $E$ et $D$ sont alignés, on va vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{IE}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont colinéaires.

• Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IE} = E - I$ : $\overrightarrow{IE} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2}, 0 \right) = (0, \frac{1}{2})$

• Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{ID} = D - I$ : $\overrightarrow{ID} = (0, 1) - \left( \frac{1}{2}, 0 \right) = \left( -\frac{1}{2}, 1 \right)$

On cherche maintenant à voir si ces deux vecteurs sont colinéaires. Deux vecteurs $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sont colinéaires si $x_1 \cdot y_2 = x_2 \cdot y_1$.

Dans notre cas : $0 \times 1 = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2} \right) = 0$ Donc, les vecteurs $\overrightarrow{IE}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont colinéaires, ce qui prouve que les points $I$, $E$ et $D$ sont alignés.

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Questions supplémentaires :

1. Quelles sont les propriétés d'un parallélogramme dans un repère ?
2. Comment prouver l'alignement de trois points dans un plan ?
3. Comment déterminer les coordonnées d'un point dans un repère orthonormé ?
4. Quelles sont les conditions pour que deux vecteurs soient colinéaires ?
5. Comment calculer les coordonnées d'un milieu de segment ?

Astuce : Dans un repère orthonormé, les vecteurs peuvent être utilisés pour simplifier de nombreuses démonstrations géométriques, comme l'alignement ou la colinéarité.