A- ABCD est un parallélogramme. E est un point tel que AE = AČ. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [DC]. On considère le repère (A ; AB ; AD). 1) a) Donner, sans justifier, les coordonnées des points A, B, D et C dans ce repère. b) Calculer les coordonnées des points E, I et J. 2) Démontrer que les points I, E et D sont alignés.

### 1) a) Coordonnées des points A, B, D et C dans le repère \((A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD})\)

Dans le repère \((A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD})\), les coordonnées des points sont les suivantes :

- \( A(0, 0) \) : puisque c'est l'origine du repère.
- \( B(1, 0) \) : puisque \(\overrightarrow{AB}\) correspond à l'axe des abscisses.
- \( D(0, 1) \) : puisque \(\overrightarrow{AD}\) correspond à l'axe des ordonnées.
- \( C(1, 1) \) : \(C\) est obtenu en additionnant les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\), donc \(C = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).

### 1) b) Calcul des coordonnées des points E, I et J

- **Coordonnées du point E :**

On sait que \( AE = AC \), ce qui signifie que \( E \) est le milieu du segment \([AC]\). Le milieu d'un segment dont les extrémités ont pour coordonnées \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \) est donné par :
\[
E \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
Donc, \(E\) est le milieu de \([A(0,0) ; C(1,1)]\), et ses coordonnées sont :
\[
E \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)
\]

- **Coordonnées du point I :**

Le point \( I \) est le milieu du segment \([AB]\). Donc ses coordonnées sont :
\[
I \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 0 \right)
\]

- **Coordonnées du point J :**

Le point \( J \) est le milieu du segment \([DC]\). Les coordonnées de \(D\) et \(C\) sont respectivement \((0,1)\) et \((1,1)\), donc les coordonnées de \(J\) sont :
\[
J \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1 \right)
\]

### 2) Démonstration que les points I, E et D sont alignés

Pour démontrer que les points \(I\), \(E\) et \(D\) sont alignés, on va vérifier si les vecteurs \(\overrightarrow{IE}\) et \(\overrightarrow{ID}\) sont colinéaires.

- Coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{IE} = E - I\) :
\[
\overrightarrow{IE} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2}, 0 \right) = (0, \frac{1}{2})
\]

- Coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{ID} = D - I\) :
\[
\overrightarrow{ID} = (0, 1) - \left( \frac{1}{2}, 0 \right) = \left( -\frac{1}{2}, 1 \right)
\]

On cherche maintenant à voir si ces deux vecteurs sont colinéaires. Deux vecteurs \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) sont colinéaires si \( x_1 \cdot y_2 = x_2 \cdot y_1 \).

Dans notre cas :
\[
0 \times 1 = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2} \right) = 0
\]
Donc, les vecteurs \(\overrightarrow{IE}\) et \(\overrightarrow{ID}\) sont colinéaires, ce qui prouve que les points \(I\), \(E\) et \(D\) sont alignés.

---

**Questions supplémentaires :**

1. Quelles sont les propriétés d'un parallélogramme dans un repère ?
2. Comment prouver l'alignement de trois points dans un plan ?
3. Comment déterminer les coordonnées d'un point dans un repère orthonormé ?
4. Quelles sont les conditions pour que deux vecteurs soient colinéaires ?
5. Comment calculer les coordonnées d'un milieu de segment ?

**Astuce :** Dans un repère orthonormé, les vecteurs peuvent être utilisés pour simplifier de nombreuses démonstrations géométriques, comme l'alignement ou la colinéarité.

ABCD est un parallélogramme. E est un point tel que AE = AC. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [DC]. On considère le repère (A ; AB ; AD). 1) a) Donner, sans justifier, les coordonnées des points A, B, D et C dans ce repère. b) Calculer les coordonnées des points E, I et J. 2) Démontrer que les points I, E et D sont alignés.

Solve the problem of finding the coordinates of points in a parallelogram and prove the collinearity of points I, E, and D using vector and midpoint formulas. This detailed solution covers key concepts in coordinate geometry, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation