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Use a definição de continuidade e propriedades de limites para
demonstrar que a função é contínua em um dado número a.

Para demonstrar que a função \( f(x) = (x + 2x^3)^4 \) é contínua no ponto \( a = -1 \) usando a definição de continuidade, seguimos os seguintes passos:

### 1. Definição de Continuidade
A função \( f(x) \) é contínua em \( a = -1 \) se satisfizer:
\[
\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)
\]
Ou seja, o limite de \( f(x) \) conforme \( x \) se aproxima de \( a \) deve ser igual ao valor de \( f(a) \).

### 2. Cálculo de \( f(-1) \)
Substituímos \( x = -1 \) na função \( f(x) \):
\[
f(-1) = (-1 + 2(-1)^3)^4 = (-1 - 2)^4 = (-3)^4 = 81
\]
Logo, \( f(-1) = 81 \).

### 3. Cálculo do Limite \( \lim_{x \to -1} f(x) \)
Agora, precisamos calcular o limite de \( f(x) \) quando \( x \to -1 \).

\[
\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (x + 2x^3)^4
\]
Primeiro, calculamos o limite de \( g(x) = x + 2x^3 \) conforme \( x \to -1 \):

\[
\lim_{x \to -1} g(x) = \lim_{x \to -1} (x + 2x^3) = (-1 + 2(-1)^3) = -1 - 2 = -3
\]

Agora, aplicamos esse valor no limite de \( f(x) \):

\[
\lim_{x \to -1} f(x) = (-3)^4 = 81
\]

### 4. Conclusão
Como \( \lim_{x \to -1} f(x) = 81 \) e \( f(-1) = 81 \), podemos concluir que:

\[
\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)
\]

Portanto, \( f(x) \) é contínua em \( x = -1 \).

---

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição!

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. O que aconteceria se \( f(x) \) fosse uma função polinomial de maior grau?
2. Como demonstrar continuidade usando a definição de limite lateral?
3. Qual a diferença entre continuidade em um ponto e continuidade em um intervalo?
4. Como o conceito de derivabilidade se relaciona com a continuidade?
5. Como verificar a continuidade de uma função com uma descontinuidade removível?

**Dica:** Toda função polinomial é contínua em todo o domínio real.

Use a definição de continuidade e propriedades de limites para demonstrar que a função f(x) = (x + 2x^3)^4 é contínua no ponto a = -1.

Learn how to use the definition of continuity and limit properties to demonstrate that the function f(x) = (x + 2x^3)^4 is continuous at x = -1. This problem involves calculating limits and verifying continuity using polynomial functions, suitable for students in Grades 11-12.

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