برای حل این سوال، ابتدا محاسبات و تحلیل‌ها را بر اساس متن داده شده آغاز می‌کنیم.

فرض می‌کنیم $X \sim P(\lambda)$ و $Y \sim P(\lambda)$ باشند. این دو متغیر تصادفی مستقل و دارای توزیع پواسون با پارامتر $\lambda$ هستند. حال:

قسمت الف: توزیع $X \mid X + Y = n$

با توجه به خصوصیات توزیع پواسون:

• جمع دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع پواسون، خود نیز توزیع پواسون دارد. بنابراین: $X + Y \sim P(2\lambda)$

حال برای شرطی بودن $X$ به شرط $X + Y = n$، استفاده از خاصیت توزیع چندجمله‌ای (Multinomial) برای توزیع شرطی انجام می‌شود: $X \mid X + Y = n \sim \text{Binomial}(n, \frac{\lambda}{2\lambda}) = \text{Binomial}(n, \frac{1}{2})$

بنابراین، توزیع $X \mid X + Y = n$ یک توزیع دوجمله‌ای با تعداد $n$ و احتمال موفقیت $\frac{1}{2}$ است.

قسمت ب: محاسبه واریانس $X \mid X + Y = n$

واریانس توزیع دوجمله‌ای $\text{Binomial}(n, p)$ به صورت زیر محاسبه می‌شود: $\text{Var}(X \mid X + Y = n) = n \cdot p \cdot (1 - p)$

در اینجا، $p = \frac{1}{2}$، بنابراین: $\text{Var}(X \mid X + Y = n) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2}) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$

نتیجه نهایی:

1. توزیع $X \mid X + Y = n$: $\text{Binomial}(n, \frac{1}{2})$
2. واریانس $X \mid X + Y = n$: $\frac{n}{4}$

آیا توضیحات اضافی یا نکات بیشتری نیاز دارید؟

پرسش‌های مرتبط:

1. چگونه می‌توان از توزیع شرطی برای سایر توزیع‌ها استفاده کرد؟
2. نقش استقلال متغیرهای تصادفی در این مسئله چیست؟
3. آیا می‌توان این مسئله را به متغیرهای تصادفی غیرپواسون تعمیم داد؟
4. اگر $\lambda$ متفاوت برای $X$ و $Y$ داشتیم، محاسبات چگونه تغییر می‌کرد؟
5. توزیع چندجمله‌ای چگونه در مسائل مشابه به کار می‌رود؟

نکته: خاصیت جمعی توزیع پواسون از ویژگی‌های مهم این توزیع است که در بسیاری از مسائل کاربرد دارد.