Soal ini meminta untuk menyatakan bilangan kompleks $z = -2\sqrt{3} - 2i$ dalam bentuk eksponensial dan polar. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya:

1. Tentukan modulus $|z|$:

Rumus modulus: $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$ Di mana:

• $\text{Re}(z) = -2\sqrt{3}$
• $\text{Im}(z) = -2$

Substitusi nilai-nilai tersebut: $|z| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2}$ $|z| = \sqrt{4 \cdot 3 + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

2. Tentukan argumen $\theta$:

Rumus argumen: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)$ Substitusi nilai-nilai: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-2\sqrt{3}}\right)$ $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Dari tabel trigonometri: $\theta = \frac{\pi}{6}$

Namun, karena $z$ berada di kuadran ketiga (karena $\text{Re}(z) < 0$ dan $\text{Im}(z) < 0$), maka: $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

3. Tulis dalam bentuk polar:

Bentuk polar bilangan kompleks: $z = |z| \left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$ Substitusi nilai $|z| = 4$ dan $\theta = \frac{7\pi}{6}$: $z = 4 \left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right)$

4. Tulis dalam bentuk eksponensial:

Bentuk eksponensial bilangan kompleks: $z = |z| e^{i\theta}$ Substitusi nilai $|z| = 4$ dan $\theta = \frac{7\pi}{6}$: $z = 4e^{i\frac{7\pi}{6}}$

Jawaban Akhir:

1. Bentuk polar: $z = 4 \left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right)$

2. Bentuk eksponensial: $z = 4e^{i\frac{7\pi}{6}}$

Apakah Anda ingin penjelasan tambahan atau bantuan dengan pertanyaan terkait? 😊

Pertanyaan lanjutan:

1. Bagaimana cara menentukan kuadran untuk argumen bilangan kompleks?
2. Apa perbedaan utama bentuk polar dan eksponensial bilangan kompleks?
3. Bagaimana menggambar $z$ pada diagram Argand?
4. Bagaimana cara mengonversi dari bentuk polar kembali ke bentuk kartesian?
5. Apa kegunaan bentuk eksponensial bilangan kompleks dalam matematika teknik?

Tip: Gunakan kalkulator ilmiah untuk menghitung argumen dengan lebih akurat jika angkanya rumit.