https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1728618790172tqv2klvz.jpg

Soal tersebut menanyakan konversi bilangan kompleks \( z = -3 - 4i \) ke dalam bentuk:

a. Bentuk polar  
b. Bentuk eksponensial

Mari kita selesaikan kedua bagian ini secara bertahap:

### a. Bentuk Polar
Bentuk polar dari bilangan kompleks dinyatakan sebagai:
\[
z = r(\cos \theta + i \sin \theta)
\]
Dimana:
- \( r \) adalah modulus dari bilangan kompleks, yang dihitung dengan rumus \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), dimana \( x \) adalah bagian real dan \( y \) adalah bagian imajiner dari bilangan kompleks.
- \( \theta \) adalah argumen atau sudut dari bilangan kompleks, yang dihitung dengan \( \theta = \text{atan2}(y, x) \).

Untuk bilangan \( z = -3 - 4i \):
- Bagian real \( x = -3 \)
- Bagian imajiner \( y = -4 \)

#### Langkah 1: Hitung modulus \( r \)
\[
r = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

#### Langkah 2: Hitung argumen \( \theta \)
\[
\theta = \text{atan2}(-4, -3)
\]
Argumen untuk kuadran III (karena \( x < 0 \) dan \( y < 0 \)) adalah:
\[
\theta = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)
\]
Kita peroleh:
\[
\theta = \pi + 0.93 \approx 3.14 + 0.93 = 4.07 \, \text{radian}
\]

Jadi, bentuk polar dari \( z = -3 - 4i \) adalah:
\[
z = 5 \left( \cos 4.07 + i \sin 4.07 \right)
\]

### b. Bentuk Eksponensial
Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks dinyatakan sebagai:
\[
z = r e^{i\theta}
\]
Dimana:
- \( r \) adalah modulus (yang telah kita hitung), dan
- \( \theta \) adalah argumen (sudut) dari bilangan kompleks.

Dari bagian sebelumnya, kita sudah tahu bahwa \( r = 5 \) dan \( \theta = 4.07 \) radian. Jadi, bentuk eksponensialnya adalah:
\[
z = 5 e^{i 4.07}
\]

Apakah penjelasan ini cukup jelas? Jika ada bagian yang perlu didetailkan lebih lanjut, silakan tanyakan!

### Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara menentukan kuadran untuk sudut argumen bilangan kompleks?
2. Apa perbedaan antara bentuk polar dan eksponensial dalam bilangan kompleks?
3. Mengapa nilai argumen \( \theta \) berbeda untuk bilangan di kuadran yang berbeda?
4. Bagaimana cara mengubah bentuk eksponensial kembali ke bentuk kartesian?
5. Apakah mungkin bilangan kompleks memiliki lebih dari satu representasi polar?

### Tip:
Selalu periksa di kuadran mana bilangan kompleks berada untuk menentukan nilai sudut \( \theta \) yang tepat.

Sebuah bilangan kompleks z = -3 - 4i, tentukan bilangan kompleks tersebut ke dalam: a. Bentuk polar b. Bentuk eksponensial

Learn how to convert the complex number z = -3 - 4i into polar and exponential forms with step-by-step solutions. The modulus, argument, and both polar and exponential representations are covered.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation