nyatakan bilangan kompleks berikut ke dalam bentuk kutub dan gambarlah dalam bidang kompleks: z = -√6 - √2 i

Untuk mengubah bilangan kompleks \( z = -\sqrt{6} - \sqrt{2} i \) ke dalam **bentuk kutub**, kita perlu menemukan:

1. **Modulus** (\( r \)):
   \[
   r = \sqrt{(\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2}
   \]

2. **Argumen** (\( \theta \)):
   \[
   \theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)
   \]

Kemudian menyatakannya dalam bentuk kutub:
\[
z = r \text{cis}(\theta) \quad \text{atau} \quad z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
\]

---

### Langkah 1: Tentukan Modulus (\( r \))
\[
r = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2}
\]
\[
r = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
\]

---

### Langkah 2: Tentukan Argumen (\( \theta \))
Re(\( z \)) = \(-\sqrt{6}\), Im(\( z \)) = \(-\sqrt{2}\).

Karena Re dan Im keduanya negatif, \( z \) terletak di kuadran ketiga. Maka:
\[
\theta = \pi + \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)
\]
\[
\theta = \pi + \arctan\left(\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{6}}\right)
\]
\[
\theta = \pi + \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right).
\]

Sederhanakan:
\[
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}.
\]
\[
\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.
\]

---

### Hasil Akhir dalam Bentuk Kutub
\[
z = 2\sqrt{2} \text{cis}\left(\frac{7\pi}{6}\right)
\]
atau
\[
z = 2\sqrt{2} \left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right).
\]

---

### Gambar dalam Bidang Kompleks

Saya akan menggambar \( z \) di bidang kompleks.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Bilangan kompleks
real_part = -np.sqrt(6)
imag_part = -np.sqrt(2)
modulus = 2 * np.sqrt(2)
theta = 7 * np.pi / 6

# Koordinat titik z
x = [0, real_part]
y = [0, imag_part]

# Plot bidang kompleks
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.grid(color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.plot(x, y, marker='o', label=f'z = -√6 - √2i')

# Tambahkan teks dan anotasi
plt.text(real_part, imag_part, f'  z = -√6 - √2i', fontsize=10, color='blue')
plt.title("Bilangan Kompleks z dalam Bidang Kompleks")
plt.xlabel("Re (z)")
plt.ylabel("Im (z)")
plt.xlim(-3, 1)
plt.ylim(-3, 1)
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.legend()
plt.show()
<<ImageDisplayed>>successGambar di atas menunjukkan bilangan kompleks \( z = -\sqrt{6} - \sqrt{2}i \) dalam bidang kompleks. Titik tersebut terletak di kuadran ketiga, sesuai dengan komponen real dan imaginer yang keduanya negatif.

Jika ada yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut, saya siap membantu. Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan argumen jika bilangan kompleks berada di kuadran lain?
2. Apa fungsi bentuk kutub dalam aplikasi praktis bilangan kompleks?
3. Bisakah Anda meminta saya menggambar lebih banyak titik dalam bidang kompleks?
4. Bagaimana hubungan antara bentuk kutub dan eksponensial Euler?
5. Apa itu argumen utama, dan bagaimana cara menentukan nilainya?

**Tip:** Dalam bentuk kutub, penghitungan seperti perkalian dan pembagian bilangan kompleks menjadi lebih sederhana!

Nyatakan bilangan kompleks berikut ke dalam bentuk kutub dan gambarlah dalam bidang kompleks: z = -√6 - √2 i

Learn how to convert the complex number z = -√6 - √2i into polar form with step-by-step calculations. Understand modulus, argument, and graphing on the complex plane. Perfect for Grades 10-12 students studying complex numbers.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation