En el mercado del domingo por la mañana, Ana deci- dió comprar tres tipos de frutas de entre 12 variedades disponibles, y un tipo de verdura de entre seis opciones. Por la tarde, después de que algunos productos se agotaron, Bertha quiso comprar dos tipos de frutas y dos tipos de verduras de los productos restantes. Si el número de combinaciones posibles para Bertha fue una cuarta parte del número de combinaciones posibles para Ana, ¿cuántos productos se agotaron por la tarde? corectamente tus operaciones

El problema nos plantea que Ana y Bertha eligen frutas y verduras de diferentes opciones en distintos momentos, y nos proporciona una relación entre las combinaciones posibles de Bertha y Ana. Debemos determinar cuántos productos se agotaron entre la mañana y la tarde.

### Paso 1: Combinaciones de Ana

Ana elige 3 tipos de frutas de entre 12 variedades disponibles y 1 tipo de verdura de entre 6 opciones. Las combinaciones posibles para Ana se calculan como el producto de las combinaciones de frutas y verduras.

La cantidad de formas en que Ana puede elegir 3 frutas de entre 12 es:

\[
\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
\]

La cantidad de formas en que Ana puede elegir 1 verdura de entre 6 es:

\[
\binom{6}{1} = 6
\]

Por lo tanto, el número total de combinaciones posibles para Ana es:

\[
220 \times 6 = 1320
\]

### Paso 2: Combinaciones de Bertha

Por la tarde, algunos productos se agotaron, y ahora Bertha tiene menos opciones. Sabemos que Bertha elige 2 tipos de frutas y 2 tipos de verduras, pero no conocemos cuántos productos quedan. Llamemos \( x \) al número de frutas restantes y \( y \) al número de verduras restantes.

El número de combinaciones posibles para Bertha es:

\[
\binom{x}{2} \times \binom{y}{2}
\]

Además, el problema nos dice que el número de combinaciones para Bertha es una cuarta parte del número de combinaciones para Ana:

\[
\binom{x}{2} \times \binom{y}{2} = \frac{1320}{4} = 330
\]

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Queremos encontrar \( x \) y \( y \) que satisfagan esta ecuación. Sabemos que \( x \leq 12 \) y \( y \leq 6 \) porque algunos productos se agotaron.

Primero, observamos los valores posibles para \( \binom{x}{2} \). Los calculamos:

- \( \binom{12}{2} = 66 \)
- \( \binom{11}{2} = 55 \)
- \( \binom{10}{2} = 45 \)
- \( \binom{9}{2} = 36 \)
- \( \binom{8}{2} = 28 \)
- \( \binom{7}{2} = 21 \)
- \( \binom{6}{2} = 15 \)
- \( \binom{5}{2} = 10 \)
- \( \binom{4}{2} = 6 \)
- \( \binom{3}{2} = 3 \)

Ahora, buscamos valores posibles para \( \binom{y}{2} \):

- \( \binom{6}{2} = 15 \)
- \( \binom{5}{2} = 10 \)
- \( \binom{4}{2} = 6 \)
- \( \binom{3}{2} = 3 \)
- \( \binom{2}{2} = 1 \)

Buscamos ahora una combinación de \( \binom{x}{2} \) y \( \binom{y}{2} \) que satisfaga:

\[
\binom{x}{2} \times \binom{y}{2} = 330
\]

Probemos con \( \binom{x}{2} = 66 \) y \( \binom{y}{2} = 5 \):

\[
66 \times 5 = 330
\]

Esto satisface la ecuación, por lo tanto, \( x = 12 \) y \( y = 5 \).

### Paso 4: Determinar cuántos productos se agotaron

Originalmente había 12 tipos de frutas y 6 tipos de verduras. Si por la tarde quedan 12 frutas y 5 verduras, esto significa que no se agotaron frutas y se agotó 1 verdura.

Por lo tanto, **1 producto se agotó por la tarde**.

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¿Quieres que explore más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan las combinaciones si Ana hubiera elegido más de 3 frutas?
2. ¿Cómo cambiarían las combinaciones si Ana no hubiera comprado ninguna verdura?
3. ¿Qué pasa si Bertha hubiera querido elegir 3 tipos de frutas y no 2?
4. ¿Qué ocurre si el número de combinaciones para Bertha fuera mayor a una cuarta parte?
5. ¿Cómo se calcularían las probabilidades si Ana y Bertha eligieran frutas al azar?

### Tip: Las combinaciones sin repetición se calculan con \( \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \), una fórmula clave en la teoría combinatoria.

En el mercado del domingo por la mañana, Ana decidió comprar tres tipos de frutas de entre 12 variedades disponibles, y un tipo de verdura de entre seis opciones. Por la tarde, después de que algunos productos se agotaron, Bertha quiso comprar dos tipos de frutas y dos tipos de verduras de los productos restantes. Si el número de combinaciones posibles para Bertha fue una cuarta parte del número de combinaciones posibles para Ana, ¿cuántos productos se agotaron por la tarde?

Solve a combinatorics problem where Ana and Bertha buy fruits and vegetables at different times, and calculate how many products sold out. This problem involves binomial coefficients and ratios, suitable for Grades 9-12 students.

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