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Para resolver este problema en un circuito RL serie, seguimos los siguientes pasos:

### Datos del problema
- Resistencia, \( R = 2 \, \Omega \)
- Inductancia, \( L = 0.5 \, \text{H} \)
- Voltaje de la fuente, \( V = 120 \, \text{V} \)
- Corriente inicial, \( I(0) = 20 \, \text{A} \)
- Se busca el tiempo \( t \) cuando la corriente alcanza el 75% de la corriente máxima.

### Paso 1: Calcular la corriente máxima
La corriente máxima \( I_{\text{máx}} \) en un circuito RL en estado estacionario (cuando \( t \to \infty \)) se determina con la ley de Ohm:

\[
I_{\text{máx}} = \frac{V}{R} = \frac{120 \, \text{V}}{2 \, \Omega} = 60 \, \text{A}
\]

### Paso 2: Determinar el 75% de la corriente máxima
Queremos encontrar el tiempo cuando la corriente es el 75% de la corriente máxima:

\[
I(t) = 0.75 \cdot I_{\text{máx}} = 0.75 \cdot 60 = 45 \, \text{A}
\]

### Paso 3: Ecuación de corriente en función del tiempo para un circuito RL
En un circuito RL serie, la ecuación de la corriente en función del tiempo \( I(t) \) cuando hay una corriente inicial \( I(0) = I_0 \) es:

\[
I(t) = I_{\text{máx}} + \left( I_0 - I_{\text{máx}} \right) e^{-\frac{R}{L} t}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:
\[
45 = 60 + (20 - 60) e^{-\frac{2}{0.5} t}
\]

Simplificamos dentro del exponente:
\[
45 = 60 - 40 e^{-4t}
\]

### Paso 4: Despejar el tiempo \( t \)
1. Restamos 60 de ambos lados:
   \[
   -15 = -40 e^{-4t}
   \]

2. Dividimos entre \(-40\):
   \[
   e^{-4t} = \frac{15}{40} = 0.375
   \]

3. Aplicamos logaritmo natural en ambos lados:
   \[
   -4t = \ln(0.375)
   \]

4. Despejamos \( t \):
   \[
   t = -\frac{\ln(0.375)}{4}
   \]

Calculamos el valor numérico:
\[
t \approx -\frac{-0.981}{4} \approx 0.245 \, \text{segundos}
\]

### Respuesta
El tiempo necesario para que la corriente alcance el 75% de la corriente máxima es aproximadamente \( t \approx 0.245 \) segundos.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

1. ¿Cómo se obtiene la ecuación de corriente para un circuito RL en serie?
2. ¿Qué ocurre en el circuito cuando el tiempo tiende a infinito?
3. ¿Cuál es el papel del tiempo constante en circuitos RL?
4. ¿Cómo afecta un cambio en la resistencia al tiempo necesario para alcanzar un cierto nivel de corriente?
5. ¿Qué diferencias existen en la respuesta de corriente en un circuito RL en comparación con un circuito RC?

**Tip:** En circuitos RL, el tiempo constante \( \tau = \frac{L}{R} \) es crucial para determinar la velocidad de cambio de la corriente en el circuito.

Un circuito RL en serie está formado por un resistor de 2 Ω, un inductor de 0.5 H y una fuente de voltaje directa V = 120 V. Determinar la corriente en el tiempo t, si inicialmente circula una corriente de 20 A en el circuito. ¿En qué tiempo se obtiene el 75% de la corriente máxima?

Resuelve un problema de circuito RL serie con un resistor de 2 Ω, un inductor de 0.5 H, y una fuente de 120 V. Aprende a calcular la corriente en función del tiempo y determinar el tiempo necesario para alcanzar el 75% de la corriente máxima usando ecuaciones exponenciales.

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