Чтобы проверить, что вектор $(1, 4, -1)$ действительно перпендикулярен исходным векторам $(14, -3, 2)$ и $(9, -2, 1)$, необходимо убедиться, что скалярное произведение проверяемого вектора с каждым из исходных равно нулю.

Скалярное произведение

Для векторов $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ скалярное произведение вычисляется по формуле: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$

Проверим это для вектора $(1, 4, -1)$ по отношению к $(14, -3, 2)$ и $(9, -2, 1)$.

---

1. Проверка с $(14, -3, 2)$:

$(1, 4, -1) \cdot (14, -3, 2) = 1 \cdot 14 + 4 \cdot (-3) + (-1) \cdot 2.$ Выполним вычисления: $14 - 12 - 2 = 0.$

Скалярное произведение равно $0$, значит, вектор $(1, 4, -1)$ перпендикулярен $(14, -3, 2)$.

---

2. Проверка с $(9, -2, 1)$:

$(1, 4, -1) \cdot (9, -2, 1) = 1 \cdot 9 + 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1.$ Выполним вычисления: $9 - 8 - 1 = 0.$

Скалярное произведение также равно $0$, значит, вектор $(1, 4, -1)$ перпендикулярен $(9, -2, 1)$.

---

Вывод:

Поскольку скалярное произведение равно $0$ в обоих случаях, вектор $(1, 4, -1)$ действительно перпендикулярен исходным векторам.

---

Есть ли у вас дополнительные вопросы? Вот несколько связанных тем:

1. Как геометрически интерпретировать скалярное произведение?
2. Можно ли проверить перпендикулярность векторов в других измерениях (4D, 5D)?
3. Что такое угол между векторами, и как он связан с их перпендикулярностью?
4. Как вычислить скалярное произведение векторов программно?
5. Чем отличаются скалярное и векторное произведение?

Совет: Если оба скалярных произведения равны $0$, вектор гарантированно перпендикулярен каждому из исходных, поскольку это основное свойство ортогональности векторов.