https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1737032430552ic4et24n.jpg

Рассмотрим задачу:

Нужно определить взаимное расположение двух прямых \( L_1 \) и \( L_2 \) и вычислить расстояние между ними.

Прямая \( L_1 \) задана в параметрической форме:
\[
\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-3}
\]
или в параметрическом виде:
\[
L_1: \begin{cases} 
x = t, \\
y = 2t, \\
z = -3t.
\end{cases}
\]

Прямая \( L_2 \) задана в виде системы уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y + z - 3 = 0, \\
x - 2y - z = 0.
\end{cases}
\]

### 1. **Проверка взаимного расположения прямых**

#### Векторное направление \( L_1 \):
Вектор направления \( \mathbf{d_1} \) для \( L_1 \): \((1, 2, -3)\).

#### Направляющий вектор \( L_2 \):
Найдём направляющий вектор \( \mathbf{d_2} \) прямой \( L_2 \). Для этого решим систему:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 3, \\
x - 2y - z = 0.
\end{cases}
\]

Сложим обе строчки:
\[
2x - y = 3.
\]
Выразим \( y = 2x - 3 \) и подставим в любое уравнение, например, \( x + y + z = 3 \):
\[
x + (2x - 3) + z = 3 \implies 3x - 3 + z = 3 \implies z = 6 - 3x.
\]

Параметрическая форма \( L_2 \):
\[
L_2: \begin{cases}
x = t, \\
y = 2t - 3, \\
z = 6 - 3t.
\end{cases}
\]

Направляющий вектор \( \mathbf{d_2} = (1, 2, -3) \).

#### Сравнение направляющих векторов:
Оба вектора \( \mathbf{d_1} \) и \( \mathbf{d_2} \) равны: \((1, 2, -3)\). Значит, прямые \( L_1 \) и \( L_2 \) **параллельны**.

### 2. **Вычисление расстояния между параллельными прямыми**

Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, используем формулу:
\[
d = \frac{| \mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} |}{\| \mathbf{n} \|},
\]
где:
- \( \mathbf{n} \) — нормальный вектор, ортогональный направляющим векторам;
- \( \mathbf{r_0} \) — вектор между точкой одной прямой и любой точкой другой прямой.

Для прямой \( L_2 \), нормальным вектором к системе уравнений будет векторное произведение нормалей плоскостей:
\[
\mathbf{n_1} = (1, 1, 1), \quad \mathbf{n_2} = (1, -2, -1).
\]

Посчитаем \( \mathbf{n} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} \):
\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & -1
\end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2)) - \mathbf{j} \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + \mathbf{k} \cdot (1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1).
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} \cdot (-1 + 2) - \mathbf{j} \cdot (-1 - 1) + \mathbf{k} \cdot (-2 - 1) = \mathbf{i} \cdot 1 - \mathbf{j} \cdot (-2) + \mathbf{k} \cdot (-3).
\]
\[
\mathbf{n} = (1, 2, -3).
\]

Теперь найдём расстояние. Подставим точку на \( L_1 \) (\( (0, 0, 0) \)) и точку на \( L_2 \) (\( (0, -3, 6) \)) для расчёта \( \mathbf{r_0} \):
\[
\mathbf{r_0} = (0 - 0, -3 - 0, 6 - 0) = (0, -3, 6).
\]

Найдём \( \mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} \):
\[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} = (1, 2, -3) \cdot (0, -3, 6) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 6 = 0 - 6 - 18 = -24.
\]

Длина \( \mathbf{n} \):
\[
\| \mathbf{n} \| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}.
\]

Расстояние:
\[
d = \frac{| -24 |}{\sqrt{14}} = \frac{24}{\sqrt{14}} = \frac{24 \sqrt{14}}{14} = \frac{12 \sqrt{14}}{7}.
\]

### Ответ:
Прямые \( L_1 \) и \( L_2 \) параллельны. Расстояние между ними равно:
\[
\frac{12 \sqrt{14}}{7}.
\]

Есть ли вопросы или нужна дополнительная информация?  

**5 вопросов для расширения:**
1. Как определить угол между прямыми, если они не параллельны?  
2. Что означает параметризация прямой?  
3. Как применить векторное произведение для других задач?  
4. Как находить точки пересечения прямых?  
5. Как преобразовать параметрическое уравнение в общее уравнение?

**Совет:** В задачах на расстояние всегда проверяйте тип взаимного расположения прямых (пересекающиеся, скрещивающиеся или параллельные).

Определить взаимное расположение двух прямых L1 и L2 и вычислить расстояние между ними.

Узнайте, как определить взаимное расположение двух прямых L1 и L2, заданных в параметрической и общей формах. Подробное решение включает проверку параллельности и нахождение расстояния между прямыми с использованием векторного произведения и формулы расстояния. Подходит для школьников старших классов.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation