Math Problem Statement
Отвечай на русском
Определить взаимное расположение двух прямых L1 и L2 и вычислить расстояние между ними.
Solution
Рассмотрим задачу:
Нужно определить взаимное расположение двух прямых и и вычислить расстояние между ними.
Прямая задана в параметрической форме: или в параметрическом виде:
x = t, \\ y = 2t, \\ z = -3t. \end{cases}$$ Прямая $$L_2$$ задана в виде системы уравнений: $$\begin{cases} x + y + z - 3 = 0, \\ x - 2y - z = 0. \end{cases}$$ ### 1. **Проверка взаимного расположения прямых** #### Векторное направление $$L_1$$: Вектор направления $$\mathbf{d_1}$$ для $$L_1$$: $$(1, 2, -3)$$. #### Направляющий вектор $$L_2$$: Найдём направляющий вектор $$\mathbf{d_2}$$ прямой $$L_2$$. Для этого решим систему: $$\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x - 2y - z = 0. \end{cases}$$ Сложим обе строчки: $$2x - y = 3.$$ Выразим $$y = 2x - 3$$ и подставим в любое уравнение, например, $$x + y + z = 3$$: $$x + (2x - 3) + z = 3 \implies 3x - 3 + z = 3 \implies z = 6 - 3x.$$ Параметрическая форма $$L_2$$: $$L_2: \begin{cases} x = t, \\ y = 2t - 3, \\ z = 6 - 3t. \end{cases}$$ Направляющий вектор $$\mathbf{d_2} = (1, 2, -3)$$. #### Сравнение направляющих векторов: Оба вектора $$\mathbf{d_1}$$ и $$\mathbf{d_2}$$ равны: $$(1, 2, -3)$$. Значит, прямые $$L_1$$ и $$L_2$$ **параллельны**. ### 2. **Вычисление расстояния между параллельными прямыми** Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, используем формулу: $$d = \frac{| \mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} |}{\| \mathbf{n} \|},$$ где: - $$\mathbf{n}$$ — нормальный вектор, ортогональный направляющим векторам; - $$\mathbf{r_0}$$ — вектор между точкой одной прямой и любой точкой другой прямой. Для прямой $$L_2$$, нормальным вектором к системе уравнений будет векторное произведение нормалей плоскостей: $$\mathbf{n_1} = (1, 1, 1), \quad \mathbf{n_2} = (1, -2, -1).$$ Посчитаем $$\mathbf{n} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}$$: $$\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2)) - \mathbf{j} \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + \mathbf{k} \cdot (1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1).$$ $$\mathbf{n} = \mathbf{i} \cdot (-1 + 2) - \mathbf{j} \cdot (-1 - 1) + \mathbf{k} \cdot (-2 - 1) = \mathbf{i} \cdot 1 - \mathbf{j} \cdot (-2) + \mathbf{k} \cdot (-3).$$ $$\mathbf{n} = (1, 2, -3).$$ Теперь найдём расстояние. Подставим точку на $$L_1$$ ($$(0, 0, 0)$$) и точку на $$L_2$$ ($$(0, -3, 6)$$) для расчёта $$\mathbf{r_0}$$: $$\mathbf{r_0} = (0 - 0, -3 - 0, 6 - 0) = (0, -3, 6).$$ Найдём $$\mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0}$$: $$\mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} = (1, 2, -3) \cdot (0, -3, 6) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 6 = 0 - 6 - 18 = -24.$$ Длина $$\mathbf{n}$$: $$\| \mathbf{n} \| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}.$$ Расстояние: $$d = \frac{| -24 |}{\sqrt{14}} = \frac{24}{\sqrt{14}} = \frac{24 \sqrt{14}}{14} = \frac{12 \sqrt{14}}{7}.$$ ### Ответ: Прямые $$L_1$$ и $$L_2$$ параллельны. Расстояние между ними равно: $$\frac{12 \sqrt{14}}{7}.$$ Есть ли вопросы или нужна дополнительная информация? **5 вопросов для расширения:** 1. Как определить угол между прямыми, если они не параллельны? 2. Что означает параметризация прямой? 3. Как применить векторное произведение для других задач? 4. Как находить точки пересечения прямых? 5. Как преобразовать параметрическое уравнение в общее уравнение? **Совет:** В задачах на расстояние всегда проверяйте тип взаимного расположения прямых (пересекающиеся, скрещивающиеся или параллельные).Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Vector Algebra
Parametric Equations
Distance Between Lines
Formulas
Parametric equation of a line
Distance formula between parallel lines: d = |n · r0| / ||n||
Cross product to find orthogonal vectors
Theorems
Parallelism of lines based on direction vectors
Vector properties for distance calculation
Suitable Grade Level
Grades 10-12