Чтобы доказать, что ABCD — прямоугольник, нужно выполнить несколько шагов:

1. Проверить, что противоположные стороны параллельны: Для этого нужно вычислить углы между соседними сторонами (если угол 90° — значит, стороны перпендикулярны).

2. Проверить, что все углы прямые (90°): Для этого нужно вычислить скалярные произведения векторов, соответствующих соседним сторонам, и убедиться, что оно равно нулю.

Шаг 1. Проверим координаты точек:

• Точка $A(-4; 4)$
• Точка $B(4; 4)$
• Точка $C(4; -2)$
• Точка $D(-4; -2)$

Шаг 2. Векторные координаты сторон:

• Вектор $\overrightarrow{AB} = (4 - (-4), 4 - 4) = (8, 0)$
• Вектор $\overrightarrow{BC} = (4 - 4, -2 - 4) = (0, -6)$
• Вектор $\overrightarrow{CD} = (-4 - 4, -2 - (-2)) = (-8, 0)$
• Вектор $\overrightarrow{DA} = (-4 - (-4), -2 - 4) = (0, -6)$

Шаг 3. Проверим, что углы прямые:

Чтобы углы между соседними сторонами были прямыми, скалярное произведение соответствующих векторов должно быть равно нулю.

• Скалярное произведение $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 8 \times 0 + 0 \times (-6) = 0$ Это означает, что угол между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ прямой.

• Скалярное произведение $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD}$: $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \times (-8) + (-6) \times 0 = 0$ Это означает, что угол между $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD}$ прямой.

• Скалярное произведение $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$: $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-8) \times 0 + 0 \times (-6) = 0$ Это означает, что угол между $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$ прямой.

• Скалярное произведение $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \times 8 + (-6) \times 0 = 0$ Это означает, что угол между $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{AB}$ прямой.

Шаг 4. Заключение:

Так как все углы прямые (по скалярным произведениям), и противоположные стороны равны и параллельны, можно утверждать, что ABCD — прямоугольник.

---

Хотите, чтобы я объяснил что-то более подробно или показал ещё примеры решения? Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как определить, является ли многоугольник параллелограммом?
2. Как можно вычислить площадь прямоугольника, если известны его координаты?
3. Как найти периметр прямоугольника по координатам его вершин?
4. Как вычислить угол между двумя векторами на плоскости?
5. Как можно доказать, что многоугольник является квадратом?

Совет: Когда проверяете, что углы прямые, всегда полезно использовать скалярное произведение векторов — оно позволяет быстро вычислять углы между векторами.