חשבו, על ידי החלפת סדר האינטגרציה, את האינטגרל הבא:

I=∫6125dx∫6x−25√cos(π⋅(x−25)2⋅y)dy

נחשב את האינטגרל הנתון על ידי החלפת סדר האינטגרציה.

הנתון הוא:

\[
I = \int_{6}^{12} \int_{6x - 25}^{\sqrt{25}} \cos\left(\pi \cdot \frac{(x - 25)^2}{y}\right) \, dy \, dx
\]

כדי להחליף את סדר האינטגרציה, נתחיל בלתאר את תחום האינטגרציה המקורי:
1. התחום של \( x \) הוא מ-6 עד 12: \( 6 \leq x \leq 12 \).
2. עבור \( y \), נקבל את הגבולות כתלות ב-\( x \): \( 6x - 25 \leq y \leq \sqrt{25} \).

נחליף את סדר האינטגרציה, כלומר נחשב תחילה את האינטגרל ביחס ל-\( x \) ולאחר מכן ביחס ל-\( y \).

תחום האינטגרציה החדש:
1. \( y \) נע בין הערך התחתון \( 11 \) (כש-\( x = 6 \)) לבין \( \sqrt{25} = 5 \).
2. עבור כל ערך של \( y \), \( x \) נע בין \( \frac{y + 25}{6} \) לבין \( 12 \).

נוכל כעת לכתוב את האינטגרל עם סדר האינטגרציה החדש:

\[
I = \int_{11}^{5} \int_{\frac{y + 25}{6}}^{12} \cos\left(\pi \cdot \frac{(x - 25)^2}{y}\right) \, dx \, dy
\]

### צעדים נוספים:
כדי לחשב את האינטגרל עצמו, נדרש לפשט את האינטגרל הפנימי ולהמשיך לחישובים, אם זה מתבקש.

רוצה להמשיך עם חישוב האינטגרל או לקבל הסברים נוספים?

### שאלות קשורות:
1. איך ניתן לחשב אינטגרל זה באופן אנליטי?
2. כיצד ניתן להחליף את סדר האינטגרציה בתנאים כלליים יותר?
3. אילו תחומים מיוחדים ידרשו טכניקות אחרות להחלפת סדר אינטגרציה?
4. מה הם הכלים הנפוצים לחישוב אינטגרלים מורכבים?
5. מה קורה אם הפונקציה המנובת באינטגרל היא מסובכת יותר?
6. האם ניתן לחשב אינטגרל זה באופן נומרי במקום אנליטי?
7. מה הם היתרונות בהחלפת סדר האינטגרציה במקרים מסוימים?
8. כיצד נדע אם בכלל כדאי להחליף את סדר האינטגרציה במקרה נתון?

#### טיפ:
לפני החלפת סדר אינטגרציה, חשוב תמיד לוודא שהתחום מוגדר כהלכה ושאין מגבלות שמונעות את ההחלפה.

Learn how to solve a double integral using the change of integration order technique. This example involves transforming the given integral I = ∫∫_{6x-25}^{√25} cos(π⋅(x−25)²/y) dy dx to a new order of integration.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation