11. Kesebelasan suatu sekolah memainkan 12 pertandingan sepak bola dalam 1 triwulan. Hitunglah banyak cara kesebelasan tersebut dapat memainkan- nya jika menang 7 kali, kalah 3 kali, dan seri 2 kali.
12. Hitung banyak cara menanam 3 pohon akasia, 4 pohon kelor, dan 2 pohon cemara dalam satu garis lurus jika pohon sejenis tidak dibedakan.
13. Diketahui (n−1)! = n! . Nilai n yang memenuhi persamaan terse- 204.(n−4)! 216.(n−3)!
butadalah

Mari kita selesaikan masing-masing soal satu per satu.

### Soal 11: Banyak cara kesebelasan tersebut memainkan pertandingan dengan 7 kali menang, 3 kali kalah, dan 2 kali seri.

Ini adalah soal kombinasi, di mana kita akan menghitung banyak cara untuk mengatur hasil dari 12 pertandingan dengan kondisi yang diberikan. Dalam hal ini, urutan pertandingan tidak penting, dan kita akan menggunakan prinsip **permutasi dengan elemen yang berulang**.

Formula untuk permutasi dengan elemen yang berulang adalah:

\[
\text{Jumlah cara} = \frac{n!}{k_1! k_2! k_3!}
\]

Dengan:
- \( n = 12 \) (total pertandingan),
- \( k_1 = 7 \) (kemenangan),
- \( k_2 = 3 \) (kekalahan),
- \( k_3 = 2 \) (seri).

Sehingga banyak cara adalah:

\[
\text{Jumlah cara} = \frac{12!}{7!3!2!}
\]

Mari kita hitung nilai tersebut:

\[
12! = 479,001,600,\quad 7! = 5,040,\quad 3! = 6,\quad 2! = 2
\]

\[
\frac{479,001,600}{5,040 \times 6 \times 2} = \frac{479,001,600}{60,480} = 7,920
\]

Jadi, banyak cara kesebelasan tersebut dapat memainkan pertandingan adalah **7,920 cara**.

---

### Soal 12: Banyak cara menanam 3 pohon akasia, 4 pohon kelor, dan 2 pohon cemara dalam satu garis lurus.

Ini juga soal permutasi dengan elemen yang berulang. Total pohon yang akan ditanam adalah:

\[
n = 3 + 4 + 2 = 9
\]

Permutasi dengan elemen yang berulang menggunakan formula yang sama:

\[
\text{Jumlah cara} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!}
\]

Dengan:
- \( n = 9 \) (total pohon),
- \( k_1 = 3 \) (akasia),
- \( k_2 = 4 \) (kelor),
- \( k_3 = 2 \) (cemara).

Sehingga banyak cara adalah:

\[
\text{Jumlah cara} = \frac{9!}{3!4!2!}
\]

Mari kita hitung nilai tersebut:

\[
9! = 362,880,\quad 3! = 6,\quad 4! = 24,\quad 2! = 2
\]

\[
\frac{362,880}{6 \times 24 \times 2} = \frac{362,880}{288} = 1,260
\]

Jadi, banyak cara menanam pohon tersebut adalah **1,260 cara**.

---

### Soal 13: Diketahui \(\frac{(n-1)!}{204.(n-4)!} = \frac{n!}{216.(n-3)!}\). Nilai \(n\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah...

Persamaan yang diberikan adalah:

\[
\frac{(n-1)!}{204 \cdot (n-4)!} = \frac{n!}{216 \cdot (n-3)!}
\]

Langkah pertama adalah mengekspresikan \( (n!) \) dalam bentuk \( (n-1)! \):

\[
n! = n \cdot (n-1)!
\]

Sekarang, substitusi ke dalam persamaan:

\[
\frac{(n-1)!}{204 \cdot (n-4)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{216 \cdot (n-3)!}
\]

Selanjutnya, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( (n-1)! \), sehingga:

\[
\frac{1}{204 \cdot (n-4)!} = \frac{n}{216 \cdot (n-3)!}
\]

Kemudian, kalikan silang:

\[
216 \cdot (n-3)! = 204 \cdot n \cdot (n-4)!
\]

Bagi kedua sisi dengan \( (n-4)! \):

\[
216 \cdot (n-3) = 204 \cdot n
\]

Sekarang, selesaikan persamaan linear:

\[
216n - 648 = 204n
\]

\[
216n - 204n = 648
\]

\[
12n = 648
\]

\[
n = 54
\]

Jadi, nilai \( n \) yang memenuhi persamaan adalah **54**.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut untuk setiap soal? Berikut adalah beberapa pertanyaan yang bisa dipertimbangkan:

1. Bagaimana cara menghitung permutasi dengan elemen yang berulang?
2. Apa perbedaan antara permutasi dan kombinasi?
3. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear yang lebih kompleks?
4. Apakah ada hubungan antara faktorial dan permutasi?
5. Bagaimana aplikasi konsep ini dalam situasi nyata?

**Tip:** Dalam soal kombinasi dan permutasi, selalu cek apakah urutan elemen penting atau tidak, untuk menentukan pendekatan yang benar.

11. Kesebelasan suatu sekolah memainkan 12 pertandingan sepak bola dalam 1 triwulan. Hitunglah banyak cara kesebelasan tersebut dapat memainkannya jika menang 7 kali, kalah 3 kali, dan seri 2 kali.
12. Hitung banyak cara menanam 3 pohon akasia, 4 pohon kelor, dan 2 pohon cemara dalam satu garis lurus jika pohon sejenis tidak dibedakan.
13. Diketahui (n−1)! = n! . Nilai n yang memenuhi persamaan tersebut adalah?

Pelajari cara menghitung banyak cara kesebelasan menang, kalah, dan seri dalam pertandingan, serta menanam berbagai jenis pohon dalam satu garis lurus. Juga, temukan solusi dari persamaan faktorial kompleks. Cocok untuk siswa tingkat SMA kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation