Como puedo resolver esta integral \int \frac{sin\left(iz\right)}{z^2+9}dz. 

Para resolver la integral \(\int \frac{\sin(iz)}{z^2 + 9} \, dz\), podemos seguir estos pasos:

1. **Simplificación de la función integrando**:
   Primero, note que \(\sin(iz)\) puede ser expresado en términos de funciones hiperbólicas. Utilizando la identidad de la función hiperbólica, tenemos:
   \[
   \sin(iz) = i\sinh(z)
   \]
   Entonces la integral se convierte en:
   \[
   \int \frac{i\sinh(z)}{z^2 + 9} \, dz
   \]

2. **Uso de la propiedad de la función hiperbólica**:
   Sabemos que \(\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\). Sustituyendo esto en la integral, obtenemos:
   \[
   \int \frac{i \left( \frac{e^z - e^{-z}}{2} \right)}{z^2 + 9} \, dz = \frac{i}{2} \int \frac{e^z - e^{-z}}{z^2 + 9} \, dz
   \]

3. **Descomposición de la integral**:
   Podemos descomponer la integral en dos integrales separadas:
   \[
   \frac{i}{2} \left( \int \frac{e^z}{z^2 + 9} \, dz - \int \frac{e^{-z}}{z^2 + 9} \, dz \right)
   \]

4. **Aplicación del método de fracciones parciales o técnicas de integración específicas**:
   En este caso, podemos resolver estas integrales utilizando la técnica de fracciones parciales si fuese una forma más factible, o mediante la técnica de integración por partes o transformada de Laplace.

Una forma más directa es reconocer que estas integrales tienen soluciones que involucran funciones exponenciales y términos de la forma \(\frac{1}{z^2 + a^2}\) que se relacionan con funciones arctangentes.

5. **Resultado final**:
   La solución final de la integral original en términos de funciones conocidas es:
   \[
   \int \frac{\sin(iz)}{z^2 + 9} \, dz = \frac{i}{2} \left( \frac{e^z \arctan \left( \frac{z}{3} \right)}{3} - \frac{e^{-z} \arctan \left( \frac{z}{3} \right)}{3} \right)
   \]
   Donde hemos utilizado la relación de que la integral de \(\frac{1}{z^2 + a^2}\) es \(\frac{1}{a} \arctan \left( \frac{z}{a} \right)\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas que podrías hacer:
1. ¿Cómo se aplica la transformada de Laplace a una integral como esta?
2. ¿Qué es una función hiperbólica y cómo se relaciona con las funciones trigonométricas?
3. ¿Podrías mostrar un ejemplo de integración por partes?
4. ¿Cómo se realizan las integrales de fracciones parciales?
5. ¿Cómo se resuelven las integrales con funciones exponenciales?

**Tip**: Al resolver integrales, es útil estar familiarizado con las identidades de funciones trigonométricas e hiperbólicas, ya que a menudo permiten simplificar el problema.

Learn how to solve the integral \(\int \frac{\sin(iz)}{z^2 + 9} \, dz\) with a detailed step-by-step solution. This problem covers complex analysis and integral calculus, including the use of hyperbolic functions and trigonometric identities. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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