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ayudame a resolver el punto 8 y explicamelo de forma que lo entienda

Para resolver el punto 8, necesitamos determinar cuál es el cateto más largo del triángulo mostrado en la figura. Observemos los siguientes puntos importantes:

1. **Figura y medidas:** En la figura, tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo de \( 60^\circ \) y uno de sus catetos mide 32 cm.

2. **Trigonometría en triángulos rectángulos:**
   Dado un triángulo rectángulo con un ángulo de \( 60^\circ \), los valores de las razones trigonométricas son:
   - \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
   - \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
   - \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)

3. **Identificación de los lados:**
   - **Hipotenusa (\( h \))**: es el lado opuesto al ángulo recto.
   - **Cateto opuesto (\( a \))**: es el lado opuesto al ángulo de \( 60^\circ \).
   - **Cateto adyacente (\( b \))**: es el lado que está junto al ángulo de \( 60^\circ \) y no es la hipotenusa.

   En este problema, sabemos que uno de los catetos mide 32 cm. Necesitamos identificar si es el opuesto o el adyacente para utilizar la fórmula correcta.

4. **Resolución:**
   Si consideramos que el cateto de 32 cm es el cateto adyacente (\( b \)), aplicamos la relación:
   
   \[
   \cos 60^\circ = \frac{b}{h}
   \]

   Sustituyendo los valores:

   \[
   \frac{1}{2} = \frac{32}{h} \implies h = 32 \times 2 = 64 \, \text{cm}
   \]

5. **Resultado:**
   La hipotenusa mide 64 cm, que es el cateto más largo correspondiente al valor dado en la opción **D) 64 cm**.

### Explicación Detallada:
- La clave es reconocer que el ángulo de \( 60^\circ \) nos da la proporción de los lados a través de las razones trigonométricas.
- Usamos la razón del coseno porque tenemos el cateto adyacente (32 cm) y queremos encontrar la hipotenusa.
- Al despejar, encontramos que la hipotenusa mide 64 cm, lo cual coincide con la opción **D**.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se utilizan las razones trigonométricas para encontrar un lado desconocido en un triángulo?
2. ¿Qué relación existe entre los ángulos de un triángulo rectángulo y sus lados?
3. ¿Cómo se determina si un cateto es el opuesto o adyacente a un ángulo dado?
4. ¿Cuál es la importancia de identificar correctamente los lados de un triángulo en problemas trigonométricos?
5. ¿Cómo afecta el ángulo de \(30^\circ\) en un triángulo similar al que se muestra en la figura?

### Tip:
Siempre verifica los valores de las razones trigonométricas estándar (como \( \sin 30^\circ \), \( \cos 60^\circ \)) para asegurarte de usar la fórmula correcta en problemas de trigonometría.

¿Cuál es el cateto más largo del triángulo mostrado en la figura? Uno de sus catetos mide 32 cm, con un ángulo de 60°. Usa razones trigonométricas para resolverlo.

Aprende a calcular el cateto más largo de un triángulo rectángulo con un ángulo de 60° y un cateto adyacente de 32 cm. Usamos razones trigonométricas para obtener la solución. Adecuado para estudiantes de Grados 9-12.

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