En los siguientes triángulos rectángulos, hallar las longitudes exactas de los lados. De ser necesario, escribir las respuestas en forma radical simplificada.

Claro, vamos a resolver los lados \( c \) y \( d \) de los triángulos rectángulos dados, usando las propiedades de los triángulos especiales:

### Triángulo 1: Triángulo 30°-60°-90°

En un triángulo 30°-60°-90°, las proporciones de los lados son:
- El lado opuesto al ángulo de 30° mide la mitad de la hipotenusa.
- El lado opuesto al ángulo de 60° mide \(\sqrt{3}\) veces el lado opuesto al ángulo de 30°.

Dado: El lado opuesto al ángulo de 60° mide \(3\).

1. Llamamos \( x \) al lado opuesto al ángulo de 30°:
\[
x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}
\]

2. La hipotenusa \( c \) es el doble del lado opuesto al ángulo de 30°:
\[
c = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\]

### Triángulo 2: Triángulo 45°-45°-90°

En un triángulo 45°-45°-90°, las proporciones de los lados son:
- Los dos catetos son iguales.
- La hipotenusa es \(\sqrt{2}\) veces cualquiera de los catetos.

Dado: Un cateto mide \(2\).

1. La hipotenusa \( d \) es:
\[
d = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
\]

Por lo tanto, las longitudes exactas de los lados en forma radical simplificada son:

\[
c = 2\sqrt{3}
\]
\[
d = 2\sqrt{2}
\]

Si tienes alguna pregunta o necesitas más detalles, no dudes en preguntar.

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir tu comprensión:

1. ¿Cómo se derivan las propiedades de los triángulos 30°-60°-90°?
2. ¿Cómo se derivan las propiedades de los triángulos 45°-45°-90°?
3. ¿Qué son las ternas pitagóricas y cómo se relacionan con los triángulos rectángulos especiales?
4. ¿Cómo se pueden usar las razones trigonométricas para resolver lados en triángulos rectángulos?
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6. ¿Cómo se pueden resolver ángulos desconocidos en triángulos rectángulos dados dos longitudes de lados?
7. ¿Cuál es la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y los ángulos en radianes?
8. ¿Cómo se simplifican las expresiones radicales y por qué es importante encontrar longitudes exactas?

**Consejo:** Siempre revisa si un triángulo es un triángulo rectángulo especial (como 30°-60°-90° o 45°-45°-90°) para simplificar tus cálculos rápidamente.

Aprende a encontrar las longitudes exactas de los lados en triángulos rectángulos, usando triángulos especiales como el 30°-60°-90° y el 45°-45°-90°. Incluye soluciones en forma radical simplificada y conceptos clave de proporciones de triángulos.

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