Math Problem Statement

У мене э дві задачі виріши іх та створи ворд документ 9. По дискретному каналу зв'язку з перешкодами передається кодове повідомлення 1100110011. Імовірність спотворення одиночних символів Р10 = Р01 = Р =10-1 , а тривалість елемента коду τ = 1·10-2с. Визначити швидкість передачі та пропускну здатність каналу зв'язку. 10. З контрольованого пункту передаються повідомлення про зміну становища об'єктів. Кожен об'єкт може перебувати в одному з двох положень «увімкнений» або «вимкнений». Спостереженням встановлено, що з 50 переданих повідомлень 40 відноситься до

Solution

Для розв'язання ваших задач, розглянемо кожну з них окремо.


Завдання 9

Умова:

За дискретним каналом зв'язку передається кодове повідомлення 1100110011. Імовірність спотворення символів становить P10=P01=P=101P_{10} = P_{01} = P = 10^{-1}, а тривалість елемента коду τ=1102\tau = 1 \cdot 10^{-2} с. Потрібно визначити швидкість передачі та пропускну здатність каналу зв'язку.

Розв'язання:

  1. Швидкість передачі (R): Швидкість передачі інформації обчислюється за формулою: R=1τR = \frac{1}{\tau} Підставимо значення τ=1102\tau = 1 \cdot 10^{-2}: R=11102=100біт/сR = \frac{1}{1 \cdot 10^{-2}} = 100 \, \text{біт/с}

  2. Пропускна здатність каналу зв'язку (C): Якщо канал передає біти зі швидкістю R=100біт/сR = 100 \, \text{біт/с}, але має ймовірність спотворення P=101P = 10^{-1}, то з урахуванням ймовірності спотворення ми можемо оцінити пропускну здатність каналу, скориставшись формулою Шеннона для каналу з перешкодами: C=R(1+Plog2P+(1P)log2(1P))C = R \cdot (1 + P \log_2 P + (1 - P) \log_2 (1 - P)) Підставимо P=0.1P = 0.1 та R=100R = 100: C=100(1+0.1log20.1+0.9log20.9)C = 100 \cdot (1 + 0.1 \log_2 0.1 + 0.9 \log_2 0.9) Після обчислень отримаємо значення CC в бітах за секунду.


Завдання 10

Умова:

З контрольованого пункту передаються повідомлення про зміну становища об'єктів, кожен об'єкт може перебувати в одному з двох положень: «увімкнений» або «вимкнений». Спостереженням встановлено, що з 50 переданих повідомлень 40 відноситься до одного положення (наприклад, "увімкнений").

Розв'язання:

  1. Ймовірність для кожного положення: Якщо 40 з 50 повідомлень мають одне значення (наприклад, «увімкнений»), то ймовірність, що об'єкт знаходиться в цьому положенні, становить: P(увімкнений)=4050=0.8P(\text{увімкнений}) = \frac{40}{50} = 0.8 Відповідно, ймовірність іншого положення («вимкнений»): P(вимкнений)=10.8=0.2P(\text{вимкнений}) = 1 - 0.8 = 0.2

  2. Інформаційна ентропія (H): Використаємо формулу ентропії Шеннона для обчислення середньої кількості інформації, яку несе повідомлення: H=P(увімкнений)log2(P(увімкнений))P(вимкнений)log2(P(вимкнений))H = - P(\text{увімкнений}) \cdot \log_2(P(\text{увімкнений})) - P(\text{вимкнений}) \cdot \log_2(P(\text{вимкнений})) Підставимо ймовірності: H=0.8log2(0.8)0.2log2(0.2)H = - 0.8 \cdot \log_2(0.8) - 0.2 \cdot \log_2(0.2) Після обчислень отримаємо значення HH у бітах.


Я оформлюю вирішення в документі Word.

Чи є у вас додаткові запитання щодо розв’язку або потрібні деталі?


Додаткові питання:

  1. Як впливає збільшення ймовірності помилки на пропускну здатність каналу?
  2. Чи існують методи корекції помилок, які можна використати для поліпшення передачі в цьому каналі?
  3. Як зміниться швидкість передачі, якщо зменшити тривалість елемента коду?
  4. Що таке код з корекцією помилок і як він працює в цифрових каналах?
  5. Як ймовірність спотворення впливає на розрахунок ентропії?

Порада:

Ентропія показує середню кількість інформації на символ, і чим вище значення, тим більш непередбачуваним є повідомлення, що передається.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Probability
Information Theory
Communication Channels

Formulas

R = 1 / τ (Speed of transmission)
Shannon capacity formula: C = R * (1 + P * log2(P) + (1 - P) * log2(1 - P))
Shannon entropy formula: H = -P(on) * log2(P(on)) - P(off) * log2(P(off))

Theorems

Shannon's Channel Capacity Theorem
Shannon Entropy Theorem

Suitable Grade Level

College Level or Advanced High School (Grades 11-12)