这道题是关于信息传输速率的计算问题，包含两个小问。我们将逐步解答：

问题描述分析

一个信源符号集包含字母 $A, B, C, D$，每个字母用二进制码元编码：

• “00” 代表 $A$
• “01” 代表 $B$
• “10” 代表 $C$
• “11” 代表 $D$

每个二进制码元的宽度为 $5$ 毫秒。题目提供了每个字母出现的概率： $P_A = \frac{1}{5}, \quad P_B = \frac{1}{4}, \quad P_C = \frac{1}{4}, \quad P_D = \frac{3}{10}$

我们需要计算传输的平均信息速率。

1. 计算每个符号的信息量

信息量公式为： $I(x) = -\log_2(P(x))$

计算每个符号的信息量：

1. 符号 $A$： $I(A) = -\log_2\left(\frac{1}{5}\right) = \log_2 5$

2. 符号 $B$： $I(B) = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2$

3. 符号 $C$： $I(C) = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2$

4. 符号 $D$： $I(D) = -\log_2\left(\frac{3}{10}\right) = \log_2 \frac{10}{3}$

2. 计算平均信息量

平均信息量 $H$ 是每个符号信息量的加权平均： $H = P_A \cdot I(A) + P_B \cdot I(B) + P_C \cdot I(C) + P_D \cdot I(D)$ 代入各概率和信息量：

$H = \frac{1}{5} \cdot \log_2 5 + \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{3}{10} \cdot \log_2 \frac{10}{3}$

3. 计算信息速率

信息速率公式为： $R = \frac{H}{T}$ 其中 $T$ 为传输一个符号所需的时间。每个符号由两个码元组成，每个码元宽度为 $5$ ms，因此 $T = 2 \times 5 = 10 \text{ ms} = 0.01 \text{ 秒}$

代入平均信息量 $H$ 和 $T$ 值，得到信息速率 $R$： $R = \frac{H}{0.01} = 100 \times H$

总结解答

1. 计算每个符号的信息量。
2. 计算平均信息量 $H$。
3. 计算信息速率 $R$。

如有进一步问题或希望深入了解每个步骤，请告诉我。

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相关问题扩展

1. 如果每个符号的概率均等，如何计算信息速率？
2. 信息速率与符号概率分布之间的关系是什么？
3. 如何在不同码元宽度下计算信息速率？
4. 平均信息量 $H$ 与符号种类数量之间的关系？
5. 如果添加新的符号 $E$，如何重新计算信息速率？

小提示

信息速率取决于平均信息量和传输时间，信息量越大，速率越快。