Math Problem Statement

给出这道题的完整解题步骤

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Solution

这道题是关于信息传输速率的计算问题,包含两个小问。我们将逐步解答:

问题描述分析

一个信源符号集包含字母 A,B,C,DA, B, C, D,每个字母用二进制码元编码:

  • “00” 代表 AA
  • “01” 代表 BB
  • “10” 代表 CC
  • “11” 代表 DD

每个二进制码元的宽度为 55 毫秒。题目提供了每个字母出现的概率: PA=15,PB=14,PC=14,PD=310P_A = \frac{1}{5}, \quad P_B = \frac{1}{4}, \quad P_C = \frac{1}{4}, \quad P_D = \frac{3}{10}

我们需要计算传输的平均信息速率。

1. 计算每个符号的信息量

信息量公式为: I(x)=log2(P(x))I(x) = -\log_2(P(x))

计算每个符号的信息量:

  1. 符号 AAI(A)=log2(15)=log25I(A) = -\log_2\left(\frac{1}{5}\right) = \log_2 5

  2. 符号 BBI(B)=log2(14)=2I(B) = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2

  3. 符号 CCI(C)=log2(14)=2I(C) = -\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = 2

  4. 符号 DDI(D)=log2(310)=log2103I(D) = -\log_2\left(\frac{3}{10}\right) = \log_2 \frac{10}{3}

2. 计算平均信息量

平均信息量 HH 是每个符号信息量的加权平均: H=PAI(A)+PBI(B)+PCI(C)+PDI(D)H = P_A \cdot I(A) + P_B \cdot I(B) + P_C \cdot I(C) + P_D \cdot I(D) 代入各概率和信息量:

H=15log25+142+142+310log2103H = \frac{1}{5} \cdot \log_2 5 + \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{3}{10} \cdot \log_2 \frac{10}{3}

3. 计算信息速率

信息速率公式为: R=HTR = \frac{H}{T} 其中 TT 为传输一个符号所需的时间。每个符号由两个码元组成,每个码元宽度为 55 ms,因此 T=2×5=10 ms=0.01 秒T = 2 \times 5 = 10 \text{ ms} = 0.01 \text{ 秒}

代入平均信息量 HHTT 值,得到信息速率 RRR=H0.01=100×HR = \frac{H}{0.01} = 100 \times H

总结解答

  1. 计算每个符号的信息量。
  2. 计算平均信息量 HH
  3. 计算信息速率 RR

如有进一步问题或希望深入了解每个步骤,请告诉我。


相关问题扩展

  1. 如果每个符号的概率均等,如何计算信息速率?
  2. 信息速率与符号概率分布之间的关系是什么?
  3. 如何在不同码元宽度下计算信息速率?
  4. 平均信息量 HH 与符号种类数量之间的关系?
  5. 如果添加新的符号 EE,如何重新计算信息速率?

小提示

信息速率取决于平均信息量和传输时间,信息量越大,速率越快。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Information Theory
Probability
Information Rate Calculation

Formulas

Information Amount: I(x) = -log2(P(x))
Average Information: H = Σ(P(x) * I(x))
Information Rate: R = H / T

Theorems

-

Suitable Grade Level

University Level