Quantas comissões de 3 homens e 3 mulheres podem ser formadas de um grupo de 9 homens e 9 mulheres se dois homens recusam trabalhar juntos?

Para resolver este problema, vamos dividi-lo em duas partes: primeiro, calcular o número total de comissões possíveis sem qualquer restrição, e depois subtrair o número de comissões que incluem os dois homens que se recusam a trabalhar juntos.

### 1. Número total de comissões sem restrições

Primeiro, vamos determinar quantas comissões de 3 homens e 3 mulheres podem ser formadas a partir de 9 homens e 9 mulheres.

Para escolher 3 homens de um grupo de 9 homens:
\[ \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = 84 \]

Para escolher 3 mulheres de um grupo de 9 mulheres:
\[ \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = 84 \]

O número total de comissões possíveis é o produto das duas combinações:
\[ 84 \times 84 = 7056 \]

### 2. Comissões que incluem os dois homens que recusam trabalhar juntos

Agora, vamos determinar quantas comissões incluem os dois homens que não querem trabalhar juntos.

Suponha que os dois homens que não querem trabalhar juntos sejam \( A \) e \( B \).

Se \( A \) e \( B \) estão na comissão, temos que escolher o terceiro homem entre os 7 homens restantes:
\[ \binom{7}{1} = 7 \]

Para escolher 3 mulheres de um grupo de 9 mulheres (isso não muda):
\[ \binom{9}{3} = 84 \]

O número total de comissões que incluem \( A \) e \( B \) é:
\[ 7 \times 84 = 588 \]

### 3. Número de comissões válidas

Finalmente, subtraímos o número de comissões que incluem \( A \) e \( B \) do número total de comissões possíveis:
\[ 7056 - 588 = 6468 \]

Portanto, o número de comissões de 3 homens e 3 mulheres que podem ser formadas de um grupo de 9 homens e 9 mulheres, sem que dois homens que recusam trabalhar juntos estejam na mesma comissão, é:
\[ \boxed{6468} \]

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 8 perguntas relativas ao que discutimos:
1. Como calcularíamos o número de comissões se três homens se recusassem a trabalhar juntos?
2. Se uma das mulheres também recusasse trabalhar com um dos homens, como isso afetaria o cálculo?
3. E se o grupo inicial tivesse 10 homens e 10 mulheres, qual seria o impacto?
4. Como o problema mudaria se precisássemos de 4 homens e 2 mulheres na comissão?
5. Como a fórmula de combinação (C) pode ser aplicada a este problema?
6. Como resolveríamos o problema se houvesse duas duplas de homens que não podem trabalhar juntas?
7. O que aconteceria com as combinações se houvesse uma restrição semelhante entre as mulheres?
8. Como abordaríamos o problema se tivéssemos um grupo de 8 homens e 10 mulheres?

**Dica:** Em problemas de combinatória com restrições, é útil calcular primeiro o total sem restrições e depois subtrair as combinações indesejadas.

Learn how to calculate the number of committees of 3 men and 3 women from a group of 9 men and 9 women, considering restrictions on two men working together. Detailed step-by-step solution included.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation