Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan konsep dari dot product (produk skalar) dan rumus trigonometri untuk sudut antara dua vektor.

Langkah 1: Menghitung Nilai $p$ dengan Menggunakan Sudut antara Vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$

Diketahui vektor $\mathbf{a} = (-2, p, 2\sqrt{2})$ dan vektor $\mathbf{b} = (1, 1, \sqrt{2})$, serta sudut antara $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ adalah 60°.

Rumus untuk dot product adalah:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$

Karena $\theta = 60^\circ$, maka $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

1. Dot Product (Produk Skalar) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2)(1) + p(1) + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) = -2 + p + 4 = p + 2$

2. Magnitudo $|\mathbf{a}|$ dan $|\mathbf{b}|$:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + p^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + p^2 + 8} = \sqrt{p^2 + 12}$

$|\mathbf{b}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$

3. Menggunakan Rumus $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos 60^\circ$:

$p + 2 = \frac{1}{2} \times \sqrt{p^2 + 12} \times 2$

$p + 2 = \sqrt{p^2 + 12}$

4. Menyelesaikan Persamaan:

Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar:

$(p + 2)^2 = p^2 + 12$

$p^2 + 4p + 4 = p^2 + 12$

$4p + 4 = 12$

$4p = 8 \implies p = 2$

Jadi, nilai $p = 2$.

Langkah 2: Menghitung Nilai Kosinus antara Vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{a} + \mathbf{b}$

Sekarang, kita hitung kosinus sudut antara vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{a} + \mathbf{b}$.

1. Vektor $\mathbf{a} + \mathbf{b}$:

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (-2 + 1, 2 + 1, 2\sqrt{2} + \sqrt{2}) = (-1, 3, 3\sqrt{2})$

2. Dot Product $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})$:

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = (-2)(-1) + (2)(3) + (2\sqrt{2})(3\sqrt{2}) = 2 + 6 + 12 = 20$

3. Magnitudo $|\mathbf{a}|$ dan $|\mathbf{a} + \mathbf{b}|$:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 4 + 8} = \sqrt{16} = 4$

$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 9 + 18} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

4. Menghitung Kosinus:

$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})}{|\mathbf{a}| |\mathbf{a} + \mathbf{b}|} = \frac{20}{4 \times 2\sqrt{7}} = \frac{20}{8\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$

Jadi, nilai kosinus antara vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ adalah $\frac{5\sqrt{7}}{14}$.

Apakah ada yang ingin ditanyakan atau dijelaskan lebih lanjut?
Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara mengidentifikasi sudut antara dua vektor menggunakan dot product?
2. Apa pengaruh perubahan panjang vektor terhadap nilai kosinus sudutnya?
3. Mengapa kita perlu mengkuadratkan kedua sisi persamaan ketika menghilangkan akar?
4. Bagaimana dot product digunakan dalam fisika, terutama dalam konsep kerja (work)?
5. Bagaimana menentukan vektor ortogonal terhadap dua vektor lainnya?

Tip: Ketika berhadapan dengan akar dalam persamaan, hati-hati dengan tanda plus atau minus saat mengkuadratkan dan menyelesaikan persamaan.