Diketehui vektor a=( -2, p, 2√2 ) vektor b = [1, 1, √2] Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60° tentukan nilai kosinus sudut antara vektor a dan vektor a + b !

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung nilai kosinus sudut antara vektor \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \). 

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

### 1. Tentukan Kosinus Sudut antara Vektor \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{b} \)
Diketahui bahwa sudut antara vektor \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{b} \) adalah 60°, sehingga kita dapat menggunakan rumus dot product untuk menemukan nilai \( p \).

Rumus dot product:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta
\]
Dimana \( \cos \theta = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Substitusi vektor \( \mathbf{a} = (-2, p, 2\sqrt{2}) \) dan \( \mathbf{b} = (1, 1, \sqrt{2}) \) ke dalam rumus:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2 \times 1) + (p \times 1) + (2\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = -2 + p + 4 = p + 2
\]

Magnitudo \( \mathbf{a} \):
\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + p^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + p^2 + 8} = \sqrt{p^2 + 12}
\]

Magnitudo \( \mathbf{b} \):
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2
\]

Dari rumus dot product:
\[
p + 2 = \frac{1}{2} \times \sqrt{p^2 + 12} \times 2
\]
\[
p + 2 = \sqrt{p^2 + 12}
\]
Kuadratkan kedua sisi:
\[
(p + 2)^2 = p^2 + 12
\]
\[
p^2 + 4p + 4 = p^2 + 12
\]
\[
4p + 4 = 12
\]
\[
4p = 8 \implies p = 2
\]

Jadi nilai \( p \) adalah 2.

### 2. Tentukan Vektor \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \)
Vektor \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) adalah penjumlahan komponen vektor \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{b} \):
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = (-2, 2, 2\sqrt{2}) + (1, 1, \sqrt{2}) = (-1, 3, 3\sqrt{2})
\]

### 3. Hitung Kosinus Sudut antara \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \)
Pertama, hitung dot product \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \):
\[
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = (-2 \times -1) + (2 \times 3) + (2\sqrt{2} \times 3\sqrt{2}) = 2 + 6 + 12 = 20
\]

Kemudian, hitung magnitudo \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \):
\[
|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 9 + 18} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}
\]

Hitung kosinus sudutnya:
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})}{|\mathbf{a}| \times |\mathbf{a} + \mathbf{b}|}
\]
\[
\cos \theta = \frac{20}{\sqrt{16} \times 2\sqrt{7}} = \frac{20}{4 \times 2\sqrt{7}} = \frac{20}{8\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}
\]
\[
\cos \theta = \frac{5\sqrt{7}}{14}
\]

Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) adalah \( \frac{5\sqrt{7}}{14} \).

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?  
Berikut lima pertanyaan yang dapat mengembangkan konsep ini:

1. Bagaimana cara menghitung sudut antara dua vektor jika nilai \( \cos \theta \) yang diberikan tidak umum?
2. Apa hubungan antara dot product dan sudut yang terbentuk antara dua vektor?
3. Bagaimana cara menghitung hasil kali silang (cross product) dua vektor dan interpretasinya?
4. Apa yang terjadi jika dua vektor saling ortogonal? Bagaimana menguji ini dengan dot product?
5. Bagaimana perbedaan perhitungan jika vektor \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{b} \) memiliki lebih dari tiga komponen?

**Tip:** Jika dua vektor saling tegak lurus (ortogonal), maka dot product mereka adalah nol.

Learn how to calculate the cosine angle between vectors a and a + b given their components and the angle between vectors a and b. Includes step-by-step calculation using dot product and cosine formulas. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation